Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami

=== Dowód topologiczny ===▼

Niech <math>f(a)<d<f(b)</math>. Niech ''B'' będzie zbiorem wartości funkcji ''f'', tj. ▼

: <math>B=\{f(x)\colon\, x \in [a,b]\}</math> ▼

i niech▼

:<math>d\notin B</math>▼

Wówczas ▼

:<math>B = B_1 \cup B_2 </math>, gdzie <math> B_1=B \cap (-\infty, d), \ B_2 = B \cap (d, \infty)</math> ▼

Oznacza to, że <math>B </math> traktowane jako przestrzeń topologiczna jest sumą dwóch rozłącznych zbiorów otwartych. Czyli jest niespójna.▼

Ponieważ <math>f</math> jest ciągła, więc <math>f^{-1}(B_1),\ f^{-1}(B_2) </math> są rozłącznymi zbiorami otwartymi oraz▼

: <math>[a,b]=f^{-1}(B) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) </math> ▼

Zatem przedział <math> [a,b]</math> traktowany jako przestrzeń topologiczna jest sumą dwóch rozłącznych zbiorów otwartych, tzn. jest niespójny. Sprzeczność, bowiem przedział jest spójny.▼

<!--▼

Z poniższego lematu wynika, że zbiór ''B'' jako ciągły obraz przestrzeni spójnej również musi być [[zbiór spójny|spójny]]. Nie jest więc możliwe by ▼

: <math>B = B_1 \cup B_2</math>, ▼

dlatego też .▼

==== Lemat ====▼

Niech <math>g\colon X \to Y</math> jest funkcją ciągłą między [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]], zaś ''U'' będzie dowolnym [[podzbiór|podzbiorem]] [[przestrzeń spójna|spójnym]] przestrzeni ''U''. Wówczas obraz ''g''(''U'') jest spójny. ▼

Równoważne sformułowanie: każda funkcja ciągła ma [[własność Darboux]].▼

===== Dowód Lematu =====▼

[[Dowód nie wprost|Rozumowanie nie wprost]]. Jeżeli zbiór ''g''(''V'') (dla pewnego otwartego podzbioru ''V'' przestrzeni ''U'') jest niespójny, to istnieje funkcja ciągła <math>h\colon g(V) \to \{0,1\}</math>, która jest "[[funkcja na|na]]" {0,1}. Wówczas złożenie ▼

: <math> h \circ g\colon V \to \{0,1\}</math> ▼

jest ciągła i "na" {0,1}, a więc <math>V</math> jest niespójny. Zatem obraz zbioru spójnego jest spójny.▼

-->▼