Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Twierdzenie: c jest w przedziale (a, b), a nie w [a, b], bo f(a) * f(b) < 0 i f(c) = 0 |
→Dowód analityczny: Bardziej skrupulatny dowód, mniej przegadany dowód. |
||
Linia 15:
Bez straty ogólności możemy założyć, że <math>f(a)<d<f(b)</math>.
Niech
: <math>
: <math>A^c=\{x\in[a,b]\colon f(x)> d \}=f^{-1}[(d,+\infty)]\neq \varnothing</math>
: <math>B(x_0;r) = \{ x \in [a,b] : |x-x_0| < r \}</math>
Wykażemy, że
: <math>f(
Wobec [[Funkcja_ciągła#Przestrzenie_metryczne_i_unormowane|ciągłości funkcji]], [[Kresy_dolny_i_górny#Zbiory_liczbowe|właściwości supremum]] oraz [[Zbiory_rozłączne|rozłączności]] zbiorów <math>A</math> i <math>A^c</math> będzie zachodzić:
:<math>f(s)<d \Rightarrow \exists_{\delta > 0}\; B(s;\delta)\subset f^{-1}[B(f(s);d-f(s))] \subset A\Rightarrow \sup A \geqslant s+\delta\Rightarrow \sup A \neq s</math>
:<math>f(s)>d \Rightarrow \exists_{\delta > 0}\; B(s;\delta)\subset f^{-1}[B(f(s);f(s)-d)] \subset A^c \Rightarrow \sup A \leqslant s-\delta\Rightarrow \sup A \neq s</math>
Zatem [[Dowód_nie_wprost|poprzez sprzeczność]] dowodzi się,że nie jest możliwym aby <math>f(s)\neq d</math>.
▲:: <math>c<b</math>,
=== Dowód analityczny elementarny ===
| |||