Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Dowód analityczny: Modyfikuję temat ponieważ jest to bardziej dopasowana nazwa zważywszy na treść drugiego dowodu analitycznego. |
→Dowód analityczny elementarny: Zmiana tytułu na bardziej adekwatny, dodanie matematycznej podstawy zbieżności ciągów an i bn, oraz uspójnienie słowa ciągłość z definicją Heinego |
||
Linia 27:
Zatem [[Dowód_nie_wprost|poprzez sprzeczność]] dowodzi się,że nie jest możliwym aby <math>f(s)\neq d</math>.
=== Dowód analityczny
Niech <math>f(a)<d<f(b)</math>. Zastosujmy rozumowanie analogiczne do [[Metoda równego podziału|metody równego podziału]].
Linia 39:
# <math>f(a_n) \leqslant d \leqslant f(b_n)</math>,
Z własności 1. 2. wynika, że ciągi <math>(a_n),\ (b_n)</math> jako [[Aksjomat_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci|monotoniczne i ograniczone są zbieżne]] i maję tę samą granicę. Oznaczmy
: <math>c =\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n</math>
Na podstawie [[Funkcja_ciągła#Definicja_Heinego|ciągłości]] funkcji <math>f(x)</math> ciągi <math> f(a_n),\ f(b_n)</math> są zbieżne, mają tę samą granicę oraz
: <math>\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(c) = \lim_{n \to \infty} f(b_n)</math>
Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.
|