Grupa ilorazowa: Różnice pomiędzy wersjami

jest [[ciąg dokładny|krótkim ciągiem dokładnym]]. Z tego powodu twierdzenie o izomorfizmie nazywa się też ''twierdzeniem o faktoryzacji''. Nazwę można rozumieć dwojako: z jednej strony, przyjak opisano wyżej, homomorfizm <math>\scriptstyle \varphi</math> rozkłada się/faktoryzuje na homomorfizmy <math>\scriptstyle \tilde \varphi, \pi</math> (lub, że <math>\scriptstyle \varphi</math> dzieli się/faktoryzuje przez <math>\scriptstyle \pi</math>); z drugiej czymstrony można powiedzieć, że to grupa <math>\scriptstyle G</math> rozkłada się/faktoryzuje za pomocą pewnego homomorfizmu na jego jądro i obraz – w ogólności <math>\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \rtimes G/\ker \varphi</math> jest [[iloczyny grup|iloczynem półprostym]]. W przypadku [[grupa przemienna|grup przemiennych]] monomorfizmy są zawsze morfizmami normalnymi, dlatego wspomniany rozkład <math>\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \times G/\ker \varphi</math> jest [[iloczyny grup|iloczynem prostym]] (<math>\scriptstyle G \simeq \ker \varphi \oplus G/\ker \varphi</math> jest [[suma prosta|sumą prostą]] w [[grupa addytywna|notacji addytywnej]]).