Grupa ilorazowa: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>\scriptstyle G</math> będzie [[grupa (matematyka)|grupą]], a <math>\scriptstyle H</math> będzie jej dowolną [[podgrupa|podgrupą]], zaś <math>\scriptstyle G/H = \{aH\colon a \in G\}</math> oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy <math>\scriptstyle G</math> względem <math>\scriptstyle H,</math> czyli podzbiorów postaci <math>\scriptstyle aH = \{ah\colon h \in H\}</math> dla <math>\scriptstyle a \in G.</math> Najbardziej naturalnym kandydatem<ref name="action" group="uwaga">Na zbiorze warstw lewostronnych grupy <math>\scriptstyle G</math> względem <math>\scriptstyle H</math> można określić działanie wzorem <math>\scriptstyle g(aH) = gaH,</math> które nie daje struktury grupy, gdyż jest jedynie [[działanie grupy na zbiorze|działaniem grupy]] <math>\scriptstyle G</math> na zbiorze <math>\scriptstyle G/H.</math> Na zbiorze warstw, jak na każdym innym zbiorze, można określić działanie czyniące z niego grupę (pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]]; w istocie jest to równoważne aksjomatowi wyboru, zob. [[grupa wolna]]), jednakże w ogólności nie będzie miało ono żadnego związku z działaniem w <math>\scriptstyle G.</math></ref> na działanie w <math>\scriptstyle G/H</math> jest wybór elementów zgodnie ze wzorem

: <math>aH \cdot bH = abH \quad\mbox{ dla wszystkich }\quad a, b \in G.</math>

 

Powyższy wzór daje dobrze określone działanie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich <math>\scriptstyle a, a_1, b, b_1 \in G</math> i <math>\scriptstyle h, h_1 \in H</math> zachodzi [[implikacja materialna|implikacja]] postaci: <math>\scriptstyle aH = a_1H</math> oraz <math>\scriptstyle bH = b_1H</math> pociągają <math>\scriptstyle abH = a_1b_1H,</math> co korzystając z własności warstw można zapisać w równoważnej postaci: <math>\scriptstyle a_1 = ah</math> oraz <math>\scriptstyle b_1 = bh_1</math> pociąga <math>\scriptstyle a_1b_1 \in abH,</math> co po podstawieniu upraszcza się do <math>\scriptstyle ahbh_1 \in abH,</math> przy czym (korzystając raz jeszcze z własności warstw) można zapisać to jako <math>\scriptstyle hb \in bH,</math> czy też <math>\scriptstyle Hb \subseteq bH</math> dla każdego <math>\scriptstyle b \in G</math><ref group="uwaga">Konieczność normalności widać dokładniej przy następującym przedstawieniu warunku dobrego określenia działania: dla dowolnych <math>\scriptstyle a, a_1, b, b_1 \in G</math> równość <math>\scriptstyle aH = a_1H</math> ma pociągać <math>\scriptstyle abH = a_1bH,</math> a z równości <math>\scriptstyle bH = b_1H</math> ma wynikać <math>\scriptstyle abH = ab_1H.</math> W drugiej implikacji nie wymaga się niczego ponad łączność działania w <math>\scriptstyle G,</math> jednakże w pierwszej niezbędny jest krok od <math>\scriptstyle aHb = a_1Hb</math> do <math>\scriptstyle abH = a_1bH,</math> a więc zapewnienie <math>\scriptstyle cH = Hc</math> dla każdego <math>\scriptstyle c \in G.</math></ref>. Ostatni wzór jest jedną z charakteryzacji podgrupy <math>\scriptstyle H</math> jako podgrupy normalnej w <math>\scriptstyle G,</math> dlatego też działanie mnożenia warstw lewostronnych grupy <math>\scriptstyle G</math> względem podgrupy <math>\scriptstyle H</math> jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa <math>\scriptstyle H</math> jest normalna<ref group="uwaga">Podsumowując – ''[[warunek konieczny|konieczność]]'': jeżeli <math>\scriptstyle aH = a'H</math> oraz <math>\scriptstyle bH = b'H,</math> to <math>\scriptstyle abH = a(bH) = a(Hb) = a(Hb') = (aH)b' = (a'H)b' = a'(Hb') = a'(b'H) = a'b'H;</math> ''[[warunek wystarczający|dostateczność]]'': dla każdego <math>\scriptstyle h \in H,</math> na mocy <math>\scriptstyle hH = eH</math> (zobacz [[warstwa (teoria grup)#Własnośći|warstwa: ''Własności'']]), zachodzi równość <math>\scriptstyle eH \cdot gH = egH = gH</math> oraz <math>\scriptstyle hH \cdot gH = hgH,</math> czyli <math>\scriptstyle gH = hgH,</math> zatem <math>\scriptstyle H = g^{-1}hgH,</math> a więc <math>\scriptstyle g^{-1}hg \in H</math> dla każdego <math>\scriptstyle h \in H,</math> skąd <math>\scriptstyle g^{-1}Hg \subseteq H,</math> gdzie <math>\scriptstyle g \in G.</math></ref>.