Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
→‎Definicja: niezgrabnie zbudowane zdanie, błędna interpunkcja
AndrzeiBOT (dyskusja | edycje)
m Drobne redakcyjne - poprawa linków, apostrofów, cudzysłowów...
Linia 40:
Przykładem przestrzeni unormowanej, która nie jest zupełna jest np. przestrzeń <math>c_{00}</math>, tj. podprzestrzeń przestrzeni <math>\ell^\infty</math> wszystkich ciągów liczbowych których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych.
 
Większość przestrzeni unormowanych naturalnie pojawiających się w matematyce to przestrzenie Banacha – należą do nich, na przykład, [[przestrzeń Lp|przestrzenie ''L<sup>p</sup>'']], [[przestrzeń Sobolewa|przestrzenie Sobolewa]], [[przestrzeń Hardy'egoHardy’ego|przestrzenie Hardy’ego]]. Każda [[podprzestrzeń liniowa]] przestrzeni Banacha, która nie jest [[zbiór domknięty|domknięta]] jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha. Innym przykładem niezupełnej przestrzeni unormowanej jest [[całka Pettisa#Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa|przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa]] (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej).
 
== Własności ==
Linia 93:
dane wzorem
: <math>\kappa(x)x^*=x^* x,\, x^*\in X^*</math>.
Z [[twierdzenie Goldstine'aGoldstine’a|twierdzenia Goldstine’a]] wynika, że obraz przestrzeni ''X'' poprzez odwzorowanie <math>\kappa</math> jest gęstym podzbiorem <math>X^{**}</math> w sensie [[słaba topologia|<math>X^*</math>-topologii]]. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią [[przestrzeń refleksywna|przestrzenie refleksywne]], tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie <math>\kappa</math> jest [[Funkcja „na”|suriekcją]]. Przestrzeń <math>X^{**}</math> jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy ''X'' ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.
 
Z każdą parą <math>(X, Y)</math> przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń <math>\operatorname L(X, Y)</math> wszystkich [[Operator liniowy ograniczony|ciągłych]] [[Przekształcenie liniowe|operatorów liniowych]] <math>X \to Y.</math> W przestrzeni <math>\operatorname L(X,Y)</math> wprowadza się normę wzorem
Linia 99:
Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|przestrzenią nietrywialną]].
 
{{przypisyPrzypisy}}
 
== Bibliografia ==