Miara (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
m →Uogólnienia miary: lit. |
||
Linia 112:
* [[miara zespolona|'''miara zespolona''']] - przeliczalnie addytywna funkcja ze zbioru <math>\Omega</math> w cały zbiór [[liczby zespolone|liczb zespolonych]]'',''
* miary przyjmujące wartości w [[przestrzeń Banacha|przestrzeniach Banacha]],
* [[hermitowska miara spektralna|'''miary spektralne''']] ''-'' przyjmują wartości w zbiorze samosprzężonych rzutów na [[przestrzeń Hilberta]]
* [[miara skończenie addytywna|'''miara skończenie addytywna''']] - od zwykłej miary różni się jedynie wymaganiem [[funkcja addytywna zbioru|skończonej]] addytywności (zamiast addytywności przeliczalnej). Chronologicznie definicja ta pojawiła się pierwsza, ale szybko stwierdzono, że jest ona mało użyteczna. Miary skończenie addytywne są jednak powiązane z takimi pojęciami jak: [[granica Banacha|granice Banacha]], przestrzeń dualna do [[przestrzeń Lp|L<sup>∞</sup>]] oraz [[uzwarcenie Čecha-Stone’a]]. Wszystkie wspomniane pojęcia są powiązane w pewien sposób z [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]].
Ważny wynik [[geometria całkowa|geometrii całkowej]] [[twierdzenie Hadwigera|(twierdzenie Hadwigera)]] mówi, że przestrzeń funkcji niezmienniczych ze względu na przesunięcia, skończenie addytywnych, niekoniecznie nieujemnych zbiorów określona na [[suma zbiorów|skończonej sumie]] zwartych [[zbiór wypukły|zbiorów wypukłych]] w <math>\mathbb R^n</math> składa się (z dokładnością do mnożenia skalarnego) z jednej „miary”, która jest „[[funkcja jednorodna|jednorodna]] stopnia <math>k</math>” dla każdego <math>k = 0, 1, 2, \dots, n</math> i [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowych]] tych „miar”. „Jednorodna stopnia <math>k</math>” oznacza, że skalowanie dowolnego zbioru przez dowolny współczynnik <math>c>0</math> mnoży „miarę” zbioru przez <math>c^k</math>. Jednorodną stopnia <math>n</math> jest <math>n</math>-wymiarowa objętość, jednorodną stopnia <math>n-1</math> jest [[hiperpłaszczyzna]], a jednorodną stopnia <math>1</math> jest tajemnicza funkcja nazywana „błędną<!-- mean; średnią?! --> szerokością” (przekorna nazwa), jednorodną stopnia zero jest [[charakterystyka Eulera]].
| |||