'''Aksjomaty ZermeloZermela-Fraenkela''', w skrócie: '''aksjomaty ZF''' – powszechnie przyjmowany system [[aksjomat]]ów zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta ZermeloZermela]] w [[1904]] roku, który został później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkela]].
Dodając do ''ZF'' [[aksjomat wyboru]], bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się '''teorię ZFC'''.
== Historia ==
w 1908 r. [[Ernst Zermelo]] zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów [[teoria mnogości|teorii mnogości]] – ''teorię mnogości ZermeloZermela''. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji [[liczby porządkowe|liczb porządkowych]]. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, to jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teorio-mnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów ZermeloZermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 r. [[Abraham Fraenkel]] i [[Thoralf Skolem]], niezależnie, zaproponowali uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku predykatów]] z [[równość (matematyka)|równością]], w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat ''należenia do'', oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie [[aksjomat podzbiorów|aksjomatu podzbiorów]] przez [[aksjomat zastępowania]]. Przez zastosowanie wspomnianego schematu oraz dodanie [[Aksjomat regularności|aksjomatu regularności]], zaproponowanego przez ZermeloZermela w 1930 roku, do teorii mnogości ZermeloZermela, otrzymuje się ''teorię ZF''. Dodając do ''ZF'' [[aksjomat wyboru]], bądź zdanie mu równoważne, otrzymuje się ''teorię ZFC''.
