Silnia: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Wycofano ostatnią zmianę treści (wprowadzoną przez 95.49.120.11) i przywrócono wersję 47674822 autorstwa Masti |
|||
Linia 2:
|+ Wybrane wartości silni
|-
! <math>n</math> !! <math>n!
|-
| 0 || 1
Linia 18:
| 6 || 720
|-
| 7 ||
|-
| 8 || 40 320
Linia 36:
| 15 || 1 307 674 368 000
|-
| 16 || 20 922 789 888 000
|-
| 17 || 355 687 428 096 000
Linia 46:
| 20 || 2 432 902 008 176 640 000
|-
| 25 || 1,551 121 004
|-
| 50 || 3,041 409
|-
| 70 || 1,197 857 167
|-
| 100 || 9,332 621 544
|-
| 450 || 1,733 368 733
|-
| 1000 || 4,023 872 601
|-
| 10 000 || 2,846 259 681
|-
| 100 000 || 2,824 229 408
|-
| 1 000 000 || 8,263 931 688
|-
| 10 000 000 || 1,202 423 401
|-
|[[googol|10<sup>100</sup>]] || 10<sup>9,956 570 552
|}
[[Plik:Log-factorial.svg|thumb|250px|Wykres [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]] silni '''ln(''x''!)''']]
'''Silnia''' [[liczby naturalne]]j ''n'' – iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż ''n''. Oznaczenie ''n''! dla silni wprowadził w [[1808]] roku [[Christian Kramp]]. Zapis ''n''!, 2! itd. odczytujemy „n silnia”,„dwa silnia” itd.
Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiajace się w różnych działach matematyki od [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] (np. mianownik każdego składnika [[wzór Taylora|wzoru Taylora]] ma postać k!) przez geometrię n-wymiarową (np. stosunek miary n-wymiarowego [[Równoległościan wielowymiarowy|równoległościanu]] do miary [[Sympleks (matematyka)|sympleksu]] rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy n!), na [[kombinatoryka|kombinatoryce]] skończywszy (np. liczba wszystkich [[permutacja|permutacji]] zbioru ''n''-elementowego jest równa n!).
== Definicja formalna ==
Funkcję <math>\cdot\; !\colon \mathbb{N}_{0} \to \mathbb{N}_{+}</math> definiuje się następująco:
: <math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1</math>.
Wartość 0! określa się osobno:
: <math>0! = 1</math>.
[[Rekurencja|Definicja rekurencyjna]] silni ma postać:
Linia 98:
: <math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
Wynika z niego także
: <math>\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n) \ </math>
Linia 155:
== Rozkład silni na czynniki pierwsze ==
▲=== '''Lemat''' ===
Jeżeli liczba <math>n!</math> rozkłada się na czynniki pierwsze:
Linia 184:
</math>
Na przykład:
5<sup>3</sup> > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się : <math>\left \lfloor \frac{26}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{26}{5^2} \right \rfloor = 5 + 1 = 6\,
| |||