Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami

'''Aksjomaty Zermela'''<ref group = uwaga>także: Zermel'''i''' (często niepoprawnie: Zermel'''o''')</ref>'''-Fraenkla'''<ref group = uwaga>także: Fraenk'''e'''la</ref>, w skrócie: '''aksjomaty ZF''' – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów [[aksjomatteoria mnogości|teorii mnogości]]ów zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]].

w 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów [[teoriaaksjomat]]ów mnogości|teorii mnogości]]: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji [[liczby porządkowe|liczb porządkowych]]. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i [[Thoralf Skolem]] zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku predykatów]] z [[równość (matematyka)|równością]], w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie [[aksjomat podzbiorów|aksjomatu podzbiorów]] przez [[aksjomat zastępowania]]. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela [[aksjomat regularności]], zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF. Dodając do ZF [[aksjomat wyboru]], lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.

: Aksjomat wyboru nie należy do aksjomatyki ZF, ale dodanie go tworzy najpowszechniejsze jej rozszerzenie -: ZFC.