Przestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

'''Przestrzeń liniowa''' lub '''wektorowa''' – [[zbiór]] obiektów (nazywanych "wektorami"[[wektor]]ami), które mogą być [[Mnożenie przez skalar|skalowane]] i [[dodawanie|dodawane]]. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma [[działanie dwuargumentowe|działaniami]]: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego [[ciało (matematyka)|ciała]], które związane są ze sobą poniższymi [[aksjomat]]ami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań [[algebra liniowa|algebry liniowej]] i [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]]. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe [[przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]]. Wektory w tych przestrzeniach utożsamiane są odpowiednio z [[para uporządkowana|parami]] i [[Rekord (informatyka)|trójkami]] uporządkowanymi [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], reprezentowanymi często w postaci [[wektor|wektorów geometrycznych]] charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, które zwykle przedstawia się jako [[strzałka (symbol)|strzałki]]. Wektory takie mogą być sumowane według [[reguła równoległoboku|reguły równoległoboku]] (dodawanie wektorów) lub mnożone przez liczby rzeczywiste ([[mnożenie przez skalar]]). Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich [[wielomian]]ów o współczynnikach rzeczywistych.

które spełniają poniższe [[aksjomat]]yaksjomaty. Pierwsze cztery czynią z wektorów [[grupa przemienna|grupę abelową]] ze względu na dodawanie, kolejne dwa są [[rozdzielność|prawami rozdzielności]].

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję [[moduł (matematyka)|modułu]] (nad [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]]), w ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest [[moduł wolny|wolny]]).

JednakżeJednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o [[Funkcja#Definicja|przeciwdziedzinie]] <math>V</math>, co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów. Aksjomaty domkniętości są niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej [[#Podprzestrzeń liniowa i baza|podprzestrzenią]].

[[Felix Hausdorff]] udowodnił, na gruncie [[Aksjomatyaksjomaty ZermeloZermela-FraenkelaFraenkla|ZFCaksjomatyki Zermela-Fraenkla]], że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na [[lemat Kuratowskiego-Zorna|lemacie Kuratowskiego-Zorna]]. Ze słabszego od aksjomatu wyboru [[Aksjomat wyboru#Słabsze formy|lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole'a (BPI)]] wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są [[moc zbioru|równoliczne]]. Jeśli <math>V</math> jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni <math>V</math> i oznacza <math>\dim V</math>. Na przykład '''wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej''' <math>\mathbb R^3</math>, czyli <math>\dim \mathbb R^3</math>, wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru <math>\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}</math><ref group="uwaga">Wektory te są liniowo niezależne.</ref>. Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

W [[1984]] roku [[Andreas Blass]] wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]]<ref>Blass, Andreas. ''Existence of bases implies the axiom of choice''. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984. </ref>.

* Przestrzeń unormowaną (unitarną)<ref name="c" group="uwaga">nad ciałem liczb rzeczywistych bądźlub zespolonych</ref>, [[przestrzeń zupełna|zupełną]] ze względu na [[przestrzeń metryczna|metrykę]] generowaną przez normę (względnie normę pochodzącą od iloczynu skalarnego), nazywa się [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]] (względnie [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]]).

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami tzw. [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], tznto znaczy przestrzeni liniowych<ref name="c" group="uwaga"/> wyposażonych w topologię<ref group="uwaga">Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy [[Aksjomaty oddzielania|aksjomat oddzielania]].</ref> zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe<ref group="uwaga">w sensie [[topologia produktowa|topologii produktowej]] odpowiednio w: <math>\scriptstyle{X\times X}</math> i <math>\scriptstyle{K\times X}</math></ref>.