Wersja z 16:26, 10 kwi 2017 edytuj Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 015 edycji m Beno przeniósł stronę Wielomiany Legendre'a do Wielomiany Legendre’a: typogr. ← poprzednia edycja		Wersja z 16:28, 10 kwi 2017 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 015 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: '''Wielomiany ~~Legendre'a~~Legendre’a''' (nieunormowane) – [[wielomian]]y określone wzorem (Rodriguesa) : <math>P _n = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\quad (n=0,1,\ldots)</math> Linia 5: : <math>P _n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1)^i{n \choose i}{2n-2i \choose n}x^{n-2i}.</math> Ich nazwa pochodzi od nazwiska [[Adrien-Marie Legendre\|Adriena-Marie ~~Legendre'a~~Legendre’a]]. == Funkcja generująca == Wielomiany ~~Legendre'a~~Legendre’a są współczynnikami w rozwinięciu w [[Wzór Taylora\|szereg Maclaurina]] funkcji G(x,t) postaci: : <math> G(x,t) = (1 - 2xt + t^{2})^{-1/2}\; Linia 24 ⟶ 25: * [[wielomiany ortogonalne\|ortogonalność]] z wagą <math>p(x)=1</math> na odcinku <math>[-1,1]</math> * <math>\int_{-1}^1P_n^2(x)dx=\frac{2}{2n+1}</math>, a zatem układ <math>\{\sqrt{n+\tfrac{1}{2}}P_n\colon\, n\in \mathbb{N}\}</math> jest układem ortonormalnym w przedziale [-1,1]. [[Plik:Legendre polynomials.png\|thumb\|300px\|Wielomiany ~~Legendre'a~~Legendre’a P<sub>n</sub>(x) dla n=0,...,5~~\|thumb\|right\|300px~~]] == Przykłady wielomianów ~~Legendre'a~~Legendre’a == Poniżej wymieniono kilka początkowych wielomianów ~~Legendre'a~~Legendre’a: : <math>P_0(x)=1\,</math> : <math>P_1(x)=x\,</math> : <math>P_2(x)=\tfrac{1}{2}(3x^2-1) \,</math> : <math>P_3(x)=\tfrac{1}{2}(5x^3-3x) \,</math> : <math>P_4(x)=\tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)\,</math> : <math>P_5(x)=\tfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\,</math> : <math>P_6(x)=\tfrac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)\,</math> : <math>P_7(x)=\tfrac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,</math> : <math>P_8(x)=\tfrac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,</math> : <math>P_9(x)=\tfrac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,</math> : <math>P_{10}(x)=\tfrac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,</math> : <math>P_{11}(x)=\tfrac{1}{256}(88179x^{11} - 230945x^9 + 218790x^7 - 90090x^5 + 15015x^3 - 693x)\,</math> Z wielomianami ~~Legendre'a~~Legendre’a związane są [[stowarzyszone funkcje Legendre'a]] == Zobacz też == * [[formuła trójczłonowa]] * [[wielomiany Czebyszewa]] * [[wielomiany ~~Hermite'a~~Hermite’a]] * [[wielomiany ~~Laguerre'a~~Laguerre’a]] == Bibliografia == * {{cytuj książkę\|nazwisko=Fichtenholz\|imię=Grigorij Michajłowicz~~\|nazwisko=Fichtenholz~~\|autor link=Grigorij Fichtenholz\|tytuł=Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3\|miejsce=Warszawa\|wydawca=PWN\|rok=1966\|strony=354}} [[Kategoria:Wielomiany ortogonalne\|~~Legendre'a~~Legendre’a]]

Wielomiany Legendre’a: Różnice pomiędzy wersjami