Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja nieprzejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Znaczniki: Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej)
Anulowanie wersji 49120231 autora Dariusz.Tadeusz (dyskusja), WP:SK+ToS+Bn
Linia 1:
{{Nie mylić z|[[twierdzenie o wartości średniej|twierdzeniem o wartości średniej]]}}
'''Twierdzenie Darboux''' – [[twierdzenie]] [[analiza matematyczna|analizy]] [[funkcja rzeczywista|rzeczywistej]] noszące nazwisko [[Jean Darboux|Jeana Darboux]], które zapewnia o tym, że każda [[funkcja rzeczywista|rzeczywista]] [[funkcja ciągła]] ma [[własność Darboux]]; w szczególności: każda funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami krańców przedziału. Stąd pochodzi inna nazwa twierdzenia, mianowicie ''twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich'' lub krócej ''twierdzenie o wartości pośredniej''; z twierdzeniem wiążą się  również nazwiska [[Bernard Bolzano|Bernarda Bolzana]] i [[Augustin Louis Cauchy|Augustina Louisa Cauchy'egoCauchy’ego]] (nazwy ''twierdzenie Bolzana–Cauchy'egoBolzana–Cauchy’ego'' lub ''twierdzenie Cauchy'egoCauchy’ego'' nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).
 
== Twierdzenie ==
Niech <math>f\colon [a, b] \to \mathbb R</math> będzie funkcją ciągłą. Jeżeli ''f''(''a'') · ''f''(''b'') < 0 (tzn. wartości funkcji ''f'' na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki [[Punkt (geometria)|punkt]] ''c'' w przedziale (''a'', ''b)'', dla którego
: <math>f(c) = 0</math>.
 
Linia 12:
 
== Dowody ==
=== Analityczny z definicji Cauchy'egoCauchy’ego ciągłości ===
Niech ''f'': [''a'', ''b''] → ℝ będzie funkcją. Bez straty ogólności można założyć, że ''d'' jest liczbą z przedziału otwartego (''f''(''a''), ''f''(''b'')).
Niech
: <math>A=\{x\in[a,b]\colon f(x)\leqslant d \}=f^{-1}[(-\infty,d]],</math>
: <math>A^c=\{x\in[a,b]\colon f(x)> d \}=f^{-1}[(d,+\infty)].</math>
Wówczas zbiory ''A'' i ''A''<sup>c</sup> są niepuste. Niech ''s'' = sup ''A''. Dla danych ''T'' ⊆ ℝ, ''p''<sub>0</sub> ∈ ''T'' oraz ''r'' > 0 oznaczmy
: <math>B_T(p_0;r) = \{ p \in T : |p-p_0| < r \}.</math>
Wykażemy, że ''f''(''s'') = ''d''. Istotnie, wobec [[Funkcja_ciągłaFunkcja ciągła#Przestrzenie_metryczne_i_unormowanePrzestrzenie metryczne i unormowane|ciągłości funkcji]], [[Kresy_dolny_i_górnyKresy dolny i górny#Zbiory_liczboweZbiory liczbowe|właściwości supremum]] oraz [[Zbiory_rozłączneZbiory rozłączne|rozłączności]] zbiorów ''A'' i ''A''<sup>c</sup> spełnione są następujące ciągi implikacji:
: <math>f(s)<d \Rightarrow \exists{\delta > 0}\; B_{[a,b]}(s;\delta)\subset f^{-1}[B_{\mathbb{R}}(f(s);d-f(s))] \subset A\Rightarrow \sup A \geqslant s+\delta\Rightarrow \sup A \neq s</math>
: <math>f(s)>d \Rightarrow \exists{\delta > 0}\; B_{[a,b]}(s;\delta)\subset f^{-1}[B_{\mathbb{R}}(f(s);f(s)-d)] \subset A^c \Rightarrow \sup A \leqslant s-\delta\Rightarrow \sup A \neq s</math>
Zatem [[Dowód_nie_wprostDowód nie wprost|poprzez sprzeczność]] dowodzi się, że nie jest możliwym aby ''f''(''s'') ≠ ''d''.
 
=== Analityczny z definicji Heinego ciągłości ===
Niech ''f'': [''a'', ''b''] → ℝ będzie funkcją oraz niech ''d'' będzie liczbą z przedziału otwartego (''f''(''a''), ''f''(''b'')). Zastosujmy rozumowanie analogiczne do [[Metoda równego podziału|metody równego podziału]].
 
Zdefiniujmy [[indukcja matematyczna|indukcyjnie]] [[ciąg (matematyka)|ciągi]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(c_n)_{n=0}^\infty</math>:
* <math>a_0 = a, b_0 = b, c_0 = \tfrac{1}{2}(a_0 + b_0) </math>,
* Jeśli <math>f(c_n) = d</math>, to koniec dowodu<br />Jeśli <math>f(c_n) > d</math>, to <math>a_{n+1} = a_n</math>, <math> b_{n+1} = c_n</math><br />Jeśli <math>f(c_n) < d</math>, to <math>a_{n+1} = c_n</math>, <math>b_{n+1} = b_n</math><br /><math>c_{n+1} = \tfrac{1}{2}(a_{n+1} + b_{n+1})</math>.
 
Tak zdefiniowane ciągi <math>(a_n),\ (b_n)</math> mają następujące własności:
# <math>a_n\leqslant a_{n+1} < b_{n+1} \leqslant b_n</math>,
# <math>b_{n+1} - a_{n+1} = \frac12 (b_n - a_n)</math>.
# <math>f(a_n) \leqslant d \leqslant f(b_n)</math>,
 
Z własności 1. 2. wynika, że ciągi <math>(a_n),\ (b_n)</math> jako [[Aksjomat_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9BciAksjomat ciągłości|monotoniczne i ograniczone są zbieżne]] i maję tę samą granicę. Oznaczmy
: <math>c =\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n</math>
Na podstawie [[Funkcja_ciągłaFunkcja ciągła#Definicja_HeinegoDefinicja Heinego|ciągłości]] funkcji <math>f(x)</math> ciągi <math> f(a_n),\ f(b_n)</math> są zbieżne, mają tę samą granicę oraz
: <math>\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(c) = \lim_{n \to \infty} f(b_n)</math>
Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.
: <math>\lim_{n \to \infty} f(a_n) \leqslant d \leqslant \lim_{n \to \infty} f(b_n)</math>
Stąd
: <math>f(c)=d.</math>
 
=== Topologiczny ===
Niech ''f'': [''a'', ''b''] → ℝ będzie funkcją oraz niech ''d'' będzie liczbą z przedziału otwartego (''f''(''a''), ''f''(''b'')). Przypuśćmy, że ''d'' nie jest wartością funkcji ''f''. Wówczas [[Obraz i przeciwobraz|przeciwobraz]] [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] ℝ \ {''d''} powinien być równy [[Funkcja#Pojęcia i notacja|dziedzinie]] (którą tutaj jest [[Przedział wielowymiarowy|przedział]] [''a'', ''b'']), jednak wobec [[Funkcja ciągła#Przestrzenie_topologicznePrzestrzenie topologiczne|ciągłości funkcji]] będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, [[Zbiór otwarto-domknięty|otwartych]] przeciwobrazów, a zatem [[Przestrzeń spójna#Definicja formalna|przestrzenią niespójną]], co wyklucza się z faktem [[Przestrzeń spójna#Spójność drogowa i łukowa|spójności drogowej]] dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że ''d'' nie może nie być wartością funkcji.
 
Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że [[Funkcja ciągła#Przestrzenie topologiczne|ciągły]] [[Obraz i przeciwobraz|obraz]] zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest [[signum]], tj. funkcja sgn ''x'' = ''x'' / |''x''| określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera (''x'' ∈ ℝ \ {0}){{r|Rudin}}{{r|Maurin}}{{r|Dziubiński}}.
 
== Zobacz też ==
Linia 55:
== Przypisy ==
{{Przypisy-lista|
* <ref name="Rudin">{{Cytuj książkę | nazwisko = Rudin| imię = Walter | nazwisko2 = | imię2 = | autor link = Walter Rudin | tytuł = Podstawy analizy matematycznej | wydanie = 4 | wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa | rok = 1996 | rozdział = | isbn = 83-01-02846-7 | język = pl |adres rozdziału=}}, Rozdział 4.Ciągłość. Ciągłość i spójność Tw. 4.22 str. 80.</ref>
* <ref name="Maurin">{{Cytuj książkę | nazwisko = Maurin| imię = Krzysztof | nazwisko2 = | imię2 = | tytuł = Analiza. Część I Elementy | wydanie = 3 | wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa | rok = 1976 | rozdział = | isbn = 83-01-02846-7 | język = pl |adres rozdziału=}} Rozdział II. Przestrzenie Metryczne, odwzorowania ciągłe. § 10. Przestrzenie spójne. Tw.II.17 str. 47.</ref>
* <ref name="Dziubiński">{{Cytuj książkę | nazwisko = Dziubiński| imię = I. | nazwisko2 = Świątkowski | imię2 = T. | tytuł = Poradnik matematyczny Część 2 | wydanie = IV | wydawca = Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa | rok = 1985 | rozdział = | isbn = 83-01-04121-8 | język = pl |adres rozdziału=}} Rozdział XXI. Elementy Topologii. § 1. Przestrzeń topologiczna. 1.10. Zbiór spójny, zbiory rozgraniczone, składowa zbioru str. 528.</ref>
}}
 
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski | imię = Kazimierz| autor link = Kazimierz Kuratowski | tytuł = Wykłady rachunku różniczkowego i całkowego | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon15/mon1502.pdf| wydanie = | tom = | wydawca = Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk | seria = Monografie Matematyczne| miejsce = Warszawa | rok = 1948 | strony = 83-84| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon15/mon1502.pdf83–84}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Musielak | imię = Julian| autor link = Julian Musielak |imię2=Helena|nazwisko2=Musielak |imię2=Helena | autor link2 = Helena Musielak | tytuł = Analiza matematyczna | wydanie = | tom = 1 | część = 1 | tytuł części = Ciągi szeregi i funkcje | wydawca = Wydawnictwo Naukowe UAM | miejsce = Poznań | rok = 2000 | strony = 170-171170–171 | isbn =978-83-232-1049-8}}
 
[[Kategoria:Analiza matematyczna]]