Wersja z 16:08, 19 kwi 2017 edytuj Mathieu Mars (dyskusja \| edycje) Operatorzy filtru nadużyć, Redaktorzy, Rewizorzy, Administratorzy 130 280 edycji Anulowanie wersji 49120231 autora Dariusz.Tadeusz (dyskusja), WP:SK+ToS+Bn ← poprzednia edycja		Wersja z 17:33, 19 kwi 2017 edytuj anuluj edycję Dariusz.Tadeusz (dyskusja \| edycje) 13 edycji →‎Topologiczny: Poprawa linku definicji ciągłości funkcji Znaczniki: Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) następna edycja →
Linia 46: === Topologiczny === Niech ''f'': [''a'', ''b''] → ℝ będzie funkcją oraz niech ''d'' będzie liczbą z przedziału otwartego (''f''(''a''), ''f''(''b'')). Przypuśćmy, że ''d'' nie jest wartością funkcji ''f''. Wówczas [[Obraz i przeciwobraz\|przeciwobraz]] [[Przestrzeń topologiczna\|przestrzeni topologicznej]] ℝ \ {''d''} powinien być równy [[Funkcja#Pojęcia i notacja\|dziedzinie]] (którą tutaj jest [[Przedział wielowymiarowy\|przedział]] [''a'', ''b'']), jednak wobec [[Funkcja ciągła#~~Przestrzenie topologiczne~~Definicja\|ciągłości funkcji]] będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, [[Zbiór otwarto-domknięty\|otwartych]] przeciwobrazów, a zatem [[Przestrzeń spójna#Definicja formalna\|przestrzenią niespójną]], co wyklucza się z faktem [[Przestrzeń spójna#Spójność drogowa i łukowa\|spójności drogowej]] dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że ''d'' nie może nie być wartością funkcji. Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że [[Funkcja ciągła#Przestrzenie topologiczne\|ciągły]] [[Obraz i przeciwobraz\|obraz]] zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest [[signum]], tj. funkcja sgn ''x'' = ''x'' / \|''x''\| określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera (''x'' ∈ ℝ \ {0}){{r\|Rudin\|Maurin\|Dziubiński}}.

Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami