Równanie czwartego stopnia: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Metoda Descartesa-Eulera: odmiana nazwiska |
→Inne podejście: sposób rozwiązania układu |
||
Linia 199:
Na koniec stosujemy podstawienie <math>a^2=t</math>:
:<math>t^3+2pt^2+(p^2-4r)t-q^2=0</math>
W ten sposób otrzymujemy [[równanie sześcienne]] o zmiennej <math>t</math>, które rozwiązujemy i za pomocą którego obliczymy <math>a</math>. Rozwiązanie <math>b</math> i <math>c</math> natomiast jest już trywialne. Rozwiązując <math>a</math>, <math>b</math> i <math>c</math>, znamy równania kwadratowe, których iloczyn opisuje nasze wyjściowe równanie stopnia czwartego, a których rozwiązanie jest równie trywialne.</br>
Ten układ równań można nieco inaczej rozwiązać
:<math>\begin{cases}-a^2+b+c=p\\a\left(-b+c\right)=q\\bc=r\end{cases} </math></br>
Przenieśmy w pierwszym równaniu :<math>a^2</math> na drugą stronę </br>
Podzielmy drugie równanie przez :<math>-a</math> </br>
Pomnóżmy trzecie równanie przez :<math>4</math></br>
:<math>\begin{cases}b+c=p+a^2\\b-c=-\frac{q}{a}\\4bc=4r\end{cases}</math></br>
Pierwsze dwa równania dodajmy i odejmijmy stronami </br>
:<math>\begin{cases}2b=p+a^2-\frac{q}{a}\\2c=p+a^2+\frac{q}{a}\\4bc=4r\end{cases}</math></br>
Wstawiamy obliczone b oraz c z pierwszych dwóch równań do trzeciego równania i otrzymujemy </br>
:<math>\left(p+a^2-\frac{q}{a}\right)\left(p+a^2+\frac{q}{a}\right)=4r</math></br>
:<math>\left(p+a^2\right)^2-\frac{q^2}{a^2}=4r</math></br>
:<math>p^2+2pa^2+a^4-\frac{q^2}{a^2}=4r</math></br>
:<math>a^6+2pa^4+p^2a^2-q^2=4ra^2</math></br>
:<math>a^6+2pa^4+\left(p^2-4r\right)a^2-q^2=0</math></br>
:<math>t=a^2</math></br>
<math>t^3+2pt^2+\left(p^2-4r\right)t-q^2=0</math></br>
Widzimy że dzielenie przez zero wystąpi gdy :<math>a=0</math></br>
Z drugiego równania wnosimy że gdy :<math>a=0</math> to :<math>q=0</math> </br>
zatem rozsądnym pomysłem będzie wyodrębnienie przypadku równania dwukwadratowego</br>
i założenie że dokonujemy tego rozkładu gdy :<math>q\neq 0</math></br>
== Zobacz też ==
| |||