Otwórz menu główne

Zmiany

Usunięte 297 bajtów ,  2 lata temu
przepraszam, ale do jakiej książki nie zajrzę, to okaże się, że aksjomat wyboru należy do teorii Zermela-Fraenkla (został zresztą przez Zermela sformułowany)
{{spis treści}}
'''Aksjomaty Zermela'''<ref group = uwaga>W literaturze dominuje nieodmieniona forma dopełniacza „aksjomaty '''Zermelo'''”, co jest niezgodne z polskimi zasadami odmiany nazwisk, sporadycznie pojawia się forma „'''Zermeli'''” odmieniona wg niewłaściwej deklinacji </ref>'''-Fraenkla'''<ref group = uwaga>w literarurze sporadycznie występuje forma '''„Fraenkela”'''</ref>, '''aksjomatyka Zermela-Fraenkla''', w skrócie: '''aksjomaty'''('''ka''') '''ZF''' – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]].
 
Dodając do ZF [[aksjomat wyboru]], lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się '''teorię ZFC'''.
 
== Historia ==
w 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw [[aksjomat]]ów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji [[liczby porządkowe|liczb porządkowych]]. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i [[Thoralf Skolem]] zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku predykatów]] z [[równość (matematyka)|równością]], w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie [[aksjomat podzbiorów|aksjomatu podzbiorów]] przez [[aksjomat zastępowania]]. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela [[aksjomat regularności]], zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF. Dodając do ZF [[aksjomat wyboru]], lub zdanie mu równoważne, otrzymuje się teorię ZFC.
 
==Aksjomaty Zermela-Fraenkla==
 
===Aksjomat ekstensjonalności===
{{Główny artykuł|Aksjomat ekstensjonalności}}
: Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.
 
=== Aksjomat wyboru ===
{{Główny artykuł|Aksjomat wyboru}}
: Aksjomat wyboru nie należy do aksjomatyki ZF, ale dodanie go tworzy najpowszechniejsze jej rozszerzenie: ZFC.
: Dla dowolnej rodziny <math>r</math> zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor <math>s</math> (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
:: <math>\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)</math>