|
'''Podprzestrzeń liniowa''' a. '''wektorowa''' – niepusty [[podzbiór]] [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]], który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.
Podzbiór <math>\scriptstyle U</math> przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle V</math> nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>\scriptstyle K</math> jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich <math>\scriptstyle \mathbf u, \mathbf v \in U</math> i <math>\scriptstyle a \in K</math> spełnione są warunki:
* <math> 0 \in U </math>
* <math>a\mathbf u \in U</math>,
* <math>\mathbf u + \mathbf v \in U</math>.
Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór <math>\scriptstyle U</math> jest ''zamknięty'' ze względu na [[mnożenie przez skalar]] i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że <math>\scriptstyle U</math> jest podzbiorem <math>\scriptstyle V.</math>
Odwrotnie, jeśli <math>\scriptstyle U</math> jest podprzestrzenią <math>\scriptstyle V,</math> to <math>\scriptstyle U</math> sama jest przestrzenią liniową ze względu na działania indukowane z <math>\scriptstyle V,</math> co oznacza, że powyższe dwa warunki są spełnione (''zamkniętość'' wynika z definicji [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowego]]).
Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda [[kombinacja liniowa]] jego dwóch elementów; z zasady [[Indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.
== Przykłady ==
[[Plik:Linear subspaces with shading.svg|thumb|300px|Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie ([[płaszczyzna|płaszczyzny]]) trójwymiarowej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.]]
* W każdej przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle V</math> zbiory <math>\scriptstyle \{\mathbf 0\}</math> oraz cała przestrzeń <math>\scriptstyle V</math> są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest ''trywialną'', druga – ''niewłaściwą''.
* W [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]] <math>\scriptstyle \mathbb R^2</math> podzbiór złożony z wektorów postaci <math>\scriptstyle [t, 3t]</math> dla <math>\scriptstyle t \in \mathbb R</math> jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako [[prosta|prostą]] przechodzącą przez [[początek (matematyka)|początek]] [[układ współrzędnych|układu współrzędnych]] i punkt <math>\scriptstyle (1, 3).</math>
* Podobnie w przestrzeni <math>\scriptstyle \mathbb R^3</math> podzbiór złożony z wektorów postaci <math>\scriptstyle [t, 3t, s],</math> gdzie <math>\scriptstyle t, s</math> są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako [[płaszczyzna|płaszczyznę]] przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty <math>\scriptstyle (0,0,1)</math> i <math>\scriptstyle (1,3,0)</math>.
* W przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle \mathbb R^{[0, 1]}</math> wszystkich [[funkcja|funkcji]] o wartościach [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] określonych na (rzeczywistym) [[przedział (matematyka)|przedziale]] <math>\scriptstyle [0, 1]</math> można wyróżnić podprzestrzeń liniową wszystkich [[funkcja ograniczona|funkcji ograniczonych]] (zob. [[przestrzeń funkcyjna]]).
* Jeżeli <math>\scriptstyle V</math> jest [[przestrzeń unitarna|przestrzenią unitarną]], to [[dopełnienie ortogonalne]] jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni ''V''.
== Kowymiar ==
{{Zobacz też|wymiar (przestrzeń liniowa)|o1=wymiar}}
Niech <math>\scriptstyle U</math> oraz <math>\scriptstyle W</math> będą podprzestrzeniami <math>\scriptstyle V.</math> '''Kowymiarem''' podprzestrzeni <math>\scriptstyle U</math> w <math>\scriptstyle V,</math> oznaczanym <math>\scriptstyle \mathrm{codim}\; U</math> nazywa się wymiar [[przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|przestrzeni ilorazowej]] <math>\scriptstyle V/U.</math> Jeżeli <math>\scriptstyle V</math> jest przestrzenią skończenie wymiarową, to
: <math>\dim V/U = \dim V - \dim U.</math>
W [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]] dużą uwagę poświęca się podprzestrzeniom [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]] o kowymiarze 1.
[[Część wspólna]] dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni jest podprzestrzenią liniową, gdyż każda kombinacja liniowa elementów przekroju rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego przekroju jako, że należy ona do każdej podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
Zamiast nieprzydatnej tu sumy mnogościowej<ref>[[Suma zbiorów|Suma mnogościowa]] dwóch (i więcej) podprzestrzeni liniowych nie jest na ogół podprzestrzenią – jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z sumowanych przestrzeni zawiera się w drugiej.</ref> wprowadza się dla podprzestrzeni <math>\scriptstyle U</math> i <math>\scriptstyle W</math> sumę algebraiczną zdefiniowaną następująco:
: <math>U + W := \{\mathbf u + \mathbf w\colon \mathbf u \in U \mbox{ oraz } \mathbf w \in W \}</math>
Suma algebraiczna <math>\scriptstyle U + W</math> dwóch podprzestrzeni <math>\scriptstyle U</math> oraz <math>\scriptstyle W</math> przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle V</math> jest podprzestrzenią <math>\scriptstyle V.</math>
; Dowód
: Niech <math>\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y \in U + W.</math> Wówczas <math>\scriptstyle \mathbf x = \mathbf x_U + \mathbf x_W</math> oraz <math>\scriptstyle \mathbf y = \mathbf y_U + \mathbf y_W</math> dla pewnych <math>\scriptstyle \mathbf x_U, \mathbf y_U \in U</math> i <math>\scriptstyle \mathbf x_W, \mathbf y_W\in W.</math> W ten sposób
:: <math>\mathbf x + \mathbf y = \mathbf x_U + \mathbf x_W + \mathbf y_U + \mathbf y_W = \underbrace{\mathbf x_U + \mathbf y_U}_{\in U} + \underbrace{\mathbf x_W + \mathbf y_W}_{\in W} \in U + W.</math>
: Niech <math>\scriptstyle \mathbf x \in U + W,</math> zaś <math>\scriptstyle c</math> jest skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora <math>\scriptstyle \mathbf x</math> co wyżej uzyskuje się
:: <math>c\mathbf x = c(\mathbf x_U + \mathbf x_W) = \underbrace{c\mathbf x_U}_{\in U} + \underbrace{c\mathbf x_W}_{\in W} \in U + W.</math>
Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni liniowej wraz z działaniami <math>\scriptstyle +</math> i <math>\scriptstyle \cap</math> tworzy [[krata (porządek)|kratę modularną]], która na ogół nie jest [[krata (porządek)#Rozdzielność|dystrybutywna]].
Indukcyjnie definiuje się sumę <math>\scriptstyle U_1 + \ldots + U_n</math> podprzestrzeni <math>\scriptstyle U_1, \ldots, U_n</math> przestrzeni <math>\scriptstyle V.</math>
Między [[Baza (przestrzeń liniowa)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiarami]] przestrzeni <math>\scriptstyle U + W</math> i <math>\scriptstyle U \cap W</math> zachodzi związek
: <math>\dim(U + W) + \dim(U \cap W) = \dim U + \dim W,</math>
w szczególności
: <math>\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W,</math>
gdzie symbol <math>\scriptstyle U \oplus W</math> oznacza [[suma prosta przestrzeni liniowych|sumę prostą]] podprzestrzeni <math>\scriptstyle U</math> i <math>\scriptstyle W.</math>
== Powłoka liniowa ==
Dla każdego (niekoniecznie skończonego) zbioru <math>\scriptstyle A</math> wektorów przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle V</math> nad ciałem <math>\scriptstyle K</math> istnieje najmniejsza (w sensie [[podzbiór|zawierania]]) podprzestrzeń liniowa zawierająca ten zbiór – jest nią część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających zbiór <math>\scriptstyle A.</math> Podprzestrzeń tę nazywa się '''powłoką liniową''', '''otoczką liniową''' lub '''domknięciem liniowym''' zbioru <math>\scriptstyle A</math> i oznacza się ją zwykle <math>\scriptstyle \langle A \rangle</math> bądź <math>\scriptstyle \mathrm{lin}\; A</math> lub <math>\scriptstyle \mathrm{span}\; A</math>. Sam zbiór <math>\scriptstyle A</math> nazywa się wówczas '''zbiorem generującym''' albo '''zbiorem rozpinającym''' podprzestrzeń <math>\scriptstyle \langle A \rangle</math>, a przestrzeń <math>\scriptstyle \langle A \rangle</math> podprzestrzenią '''generowaną''' albo '''rozpiętą''' przez zbiór <math>\scriptstyle A.</math>
Podprzestrzeń <math>\scriptstyle \langle A \rangle</math> jest zbiorem wszystkich [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowych]] elementów zbioru <math>\scriptstyle A,</math> tzn.
: <math>\langle A \rangle = \bigl\{\lambda_1 \mathbf v_1 + \dots + \lambda_k \mathbf v_k\colon \lambda_i \in K,\; \mathbf v_i \in A \mbox{ dla } i \in \mathbb N_k\}.</math>
i czasami właśnie tak definiuje się powłokę liniową zbioru <math>\scriptstyle A.</math> Z charakteryzacji tej wynika, że jeżeli <math>\scriptstyle A</math> i <math>\scriptstyle B</math> są podprzestrzeniami liniowymi, to
: <math>\langle A \rangle = A \quad \mathrm{oraz} \quad \langle A\cup B \rangle = A + B.</math>
Jeżeli zbiór <math>\scriptstyle A</math> generuje przestrzeń <math>\scriptstyle V,</math> to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń <math>\scriptstyle V</math> jest generowana przez samą siebie. Zbiór <math>\scriptstyle A,</math> który generuje przestrzeń <math>\scriptstyle V,</math> jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy jest on [[liniowa niezależność|liniowo niezależny]]. Innymi słowy, zbiór <math>\scriptstyle A,</math> który generuje przestrzeń <math>\scriptstyle V</math> jest bazą przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru <math>\scriptstyle A.</math>
Podprzestrzeń przestrzeni <math>\scriptstyle \mathbb R^2</math> generowana przez zbiór <math>\scriptstyle \{[1, 3]\}</math> opisana jest w drugim z przykładów.
{{przypisy}}
| 