|
== Paradoks ==
Niech <math>\scriptstyle V</math> oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory <math>\scriptstyle X</math>, dla których <math>\scriptstyle X</math> nie jest elementem <math>\scriptstyle X</math>, tj.
: <math>V = \bigl\{X\colon X \notin X\bigl\}.</math>
Zbiór taki istnieć nie może, ponieważ rozpatrując pytanie o to, czy <math>\scriptstyle V</math> jest elementem <math>\scriptstyle V</math>, dochodzi się do sprzeczności: jeśli byłby, to wtedy <math>\scriptstyle V</math> nie spełnia własności elementów zbioru <math>\scriptstyle V</math>, a więc nie jest elementem <math>\scriptstyle V</math>; jeśli zaś <math>\scriptstyle V</math> nie byłby elementem <math>\scriptstyle V</math>, to <math>\scriptstyle V</math> musi być elementem <math>\scriptstyle V</math> na mocy definicji tego zbioru<ref>{{cytuj stronę|url=http://encyklopedia.pwn.pl/haslo.php?id=3954199|tytuł=Paradoks Russella|opublikowany=encyklopedia.pwn.pl|data dostępu=2011-04-14}}</ref>.
== Komentarz ==
: ''Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?''
Rozważania dotyczące paradoksu golibrody mogą prowadzić do zaskakujących wniosków. Rozważmy zbiór <math>\scriptstyle X,</math> którego elementy wskazane zostaną za pomocą tzw. [[funkcja charakterystyczna zbioru|funkcji charakterystycznej]] <math>\scriptstyle \chi_A,</math> która przyjmuje dla danego elementu <math>\scriptstyle x</math> wartość <math>\scriptstyle 1,</math> gdy <math>\scriptstyle x</math> należy do <math>\scriptstyle X</math>, oraz wartość <math>\scriptstyle 0,</math>, gdy <math>\scriptstyle x</math> nie należy do <math>\scriptstyle X.</math> Wykorzystując ten sposób patrzenia na zbiory mężczyzn w mieście, można przypisać do zbioru <math>\scriptstyle S</math> tych z nich, którzy golą się sami, albo do zbioru <math>\scriptstyle G</math> tych mężczyzn, którzy korzystają w tym względzie z usług golibrody. Do którego z nich należy sam golibroda? Dla dowolnego golącego się mężczyzny <math>\scriptstyle m</math> prawdą jest, że <math>\scriptstyle \chi_S(m) + \chi_G(m) = 1,</math> tzn. mężczyzna jest golony (goli się sam albo goli go golibroda). Można się zgodzić, iż golibroda <math>\scriptstyle g</math> w takim samym stopniu należy do tych, którzy golą się sami, jak i do tych, których goli golibroda, tzn. <math>\scriptstyle \chi_S(g) = \chi_G(g).</math> Z równości tych wynika wtedy <math>\scriptstyle \chi_S(g) = \chi_G(g) = \frac{1}{2}.</math> Paradoks ten można więc rozwiązać wprowadzając pośredni, ułamkowy stopień „należenia” do zbioru, które sformalizowano w postaci tzw. ''[[zbiór rozmyty|zbiorów rozmytych]]'' (por. [[logika trójwartościowa]] i [[logika wielowartościowa]]).
[[John D. Barrow]] w swojej książce „Pi razy drzwi” używa postaci [[Cyrulik sewilski (opera)|cyrulika sewilskiego]]: „Cyrulik sewilski goli w [[Sewilla|Sewilli]] wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy cyrulik goli się sam?”. Inne sformułowanie tego paradoksu dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi.
== Rozwiązanie paradoksu ==
Powszechnie przyjęta dzisiaj [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyka teorii mnogości Zermela-Fraenkla]] nie jest sprzeczna z paradoksem Russella. Wyklucza ona istnienie zbiorów, które zawierają same siebie. Jest to zagwarantowane przede wszystkim przez [[Aksjomat regularności|aksjomat regularności]]<ref>{{cytuj stronę|url=http://smurf.mimuw.edu.pl/node/594|tytuł=Dowód nieistnienia zbiorów zawierających same siebie|opublikowany=mimuw.edu.pl|data dostępu=2012-12-14}}</ref>. Wynika z tego, że zbiór <math>\scriptstyle V</math> jest „zbiorem wszystkich zbiorów” (gdyż wszystkie zbiory spełniają warunek należenia do niego – nie zawierają same siebie). Jednak na mocy tej aksjomatyki nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów (patrz [[paradoks zbioru wszystkich zbiorów]]). Tak więc zbiór <math>\scriptstyle V</math> nie może istnieć. Nie zachodzi sprzeczność z wnioskiem z paradoksu Russella.
{{Przypisy}}
|
