Podprzestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
→Działania: drobne merytoryczne |
||
Linia 23:
* [[Część wspólna]] dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni <math>V</math> jest podprzestrzenią liniową{{odn|Axler|1997|s=17}}. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego tej części wspólnej jako, że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
* Dla rodziny <math>U_1, \ldots, U_n</math> podprzestrzeni liniowych przestrzeni <math>V</math> definiuje się ich ''sumę algebraiczną''
:: <math>U_1+\ldots +U_n := \{\mathbf u_1 +\ldots \mathbf u_n\colon \mathbf u_1 \in U_1, \ldots, \mathbf u_n \in U_n \}.</math>
Linia 39:
: Niech <math> \mathbf x \in U + W,</math> zaś <math> c</math> będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora <math> \mathbf x</math> co wyżej uzyskuje się
:: <math>c\mathbf x = c(\mathbf x_1 + \ldots + \mathbf x_n) = \underbrace{c\mathbf x_1}_{\in U_1} + \ldots + \underbrace{c\mathbf x_n}_{\in U_n} \in U + W.</math>
{{Osobny artykuł|suma prosta przestrzeni liniowych}}
: Sumę algebraiczną <math>U_1+\ldots +U_n</math> nazywa się ''prostą'', gdy <math>U_i \cap U_j = \{0\}</math> dla <math>i\neq j</math>.
Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni <math>V</math> wraz z działaniami <math> +</math> i <math> \cap</math> tworzy [[krata (porządek)|kratę modularną]]{{odn|Köthe|1969|s=58}}. Krata ta na ogół nie jest [[krata (porządek)#Rozdzielność|dystrybutywna]].
| |||