Wersja z 11:12, 5 paź 2017 edytuj Sinousty (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 2099 edycji →‎Granica w nieskończoności: dokończenie rozdzielania podwójnej definicji ← poprzednia edycja		Wersja z 11:50, 5 paź 2017 edytuj anuluj edycję Sinousty (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 2099 edycji →‎Granica jednostronna: połączenie w podwójną definicję następna edycja →
Linia 25: '''Granica jednostronna''' jest wspólną nazwą dla granicy ''lewostronnej'' i ''prawostronnej''. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji '''obustronną'''. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; [[twierdzenie odwrotne]] jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją. Liczba <math>g</math> jest '''granicą lewostronną''' (odpowiednio: '''prawostronną''') funkcji <math>f</math> w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia <math>x_0</math> dziedziny, co zapisuje się :<math>f(x) \to g</math> przy <math>x \to x_0^-\;</math> (odpowiednio: <brmath>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0^+</math> ) lub :<math>\lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g,\;</math> (odpowiednio: <brmath>\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g</math>), gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji: ; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla dowolnego <math>n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n < x_0</math> (odpowiednio: <math>\ x_n > x_0</math>)   oraz <math>\lim_{n \to\infty}~x_n = x_0,\;</math>, <br/>ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>g</math> przy <math>n \to \infty;</math> ; definicja Cauchy'ego : <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies \|f(x) - g\| < \varepsilon).\;</math> (odpowiednio: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies \|f(x) - g\| < \varepsilon)</math>). ~~Liczba <math>g</math> jest '''granicą prawostronną''' funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji <math>f</math>, co zapisuje się~~ ~~:<math>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0^+</math><br />~~ ~~lub~~ ~~:<math>\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g,</math><br />~~ ~~gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:~~ ; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla dowolnego <math>n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n > x_0</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0,</math> ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>g</math> przy <math>n \to \infty;</math> ~~; definicja Cauchy'ego : <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies \|f(x) - g\| < \varepsilon).</math>~~ === Granica niewłaściwa ===

Granica funkcji: Różnice pomiędzy wersjami