|
'''Ułamek''' – wyrażenie postaci <math>\tfrac{a}{b}</math>, gdzie <math>a</math>, nazywane '''licznikiem''', oraz <math>b</math>, nazywane '''mianownikiem''', są dowolnymi [[wyrażenie algebraiczne|wyrażeniami algebraicznymi]]. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się '''kreską ułamkową'''.
Wartością ułamka jest wartość jego licznika [[dzielenie|podzielona]] przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz <math>\tfrac{a}{0}</math> jest [[dzielenie przez zero|nieokreślony]].
== Liczby wymierne ==
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są [[liczby całkowite]], wówczas wartością ułamka jest [[Liczby wymierne|liczba wymierna]].
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się '''właściwym''', gdy jego [[wartość bezwzględna]] jest mniejsza od jedności, a '''niewłaściwym''', gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaciniewłaśwqedqweqweqewqeqeqstaci ''liczby mieszanej'', tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownikprzqwe'''a'''. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez [[Plus i minus|znaku dodawania]], np. <math>1 + \tfrac{2}{3}</math> staje się <math>1\tfrac{2}{3}</math>
=== Działania na ułamkach ===
Dla każdego <math>c \ne 0\;</math> ułamek <math>\tfrac{a}{b}</math> jest równy <math>\tfrac{ac}{bc}</math>. Operację zamiany <math>\tfrac{a}{b}</math> na <math>\tfrac{ac}{bc}</math> nazywamy '''rozszerzeniem ułamka''', odwrotną zaś nazywa się '''skróceniem ułamka'''.
[[Mnożenie]] i [[dzielenie]] wykonuje się wg wzorów:
: qwe
: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>, na przykład: <math>\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{45}</math>
:
: <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}</math>.
Przedstawienie liczby <math>k\;</math> w postaci ułamka <math>\tfrac{k}{1}</math> prowadzi do wzorów: ▼: <math>\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b}</math>,
: <math>\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}</math>.
Aby [[dodawanie|dodać]] lub [[odejmowanie|odjąć]] od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
: <math>\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\quad\quad \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}</math>.
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio '''sprowadzić je do wspólnego mianownika''', co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
: <math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\quad\quad \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}</math>.
Liczba <math>bd\;</math> może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest [[najmniejsza wspólna wielokrotność]] liczb <math>b\;</math> i <math>d\;</math>.
== Wyrażenia wymierne ==
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są [[wielomian]]ami, to nazywa się go [[wyrażenie wymierne|wyrażeniem wymiernym]]; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób [[funkcja wymierna|funkcję wymierną]]. Jeżeli [[stopień wielomianu|stopień]] licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej. ▼
== Ciało ułamków ==
{{osobny artykuł|ciało ułamków}}
Dla każdego [[Dziedzina całkowitości|pierścienia całkowitego]] <math>P\;</math> (zatem i struktur takich jak pierścień [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować [[ciało (matematyka)|ciało]] nazywane '''[[ciało ułamków|ciałem ułamków]]'''.
=== Istotność założenia całkowitości pierścienia ===
Jeżeli [[pierścień przemienny]] ma [[dzielnik zera|dzielniki zera]], to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli <math>xy = 0</math> dla niezerowych <math>x, y\in P</math>, to
: <math>[1, 1] \sim [x, x] = [x, 1] \cdot [1, x] \sim [xy, y] \cdot [1, x] = [0, y] \cdot [1, x] \sim [0, 1] \cdot [1,x] = [0, x] \sim [0,1]</math>,
czyli
: <math>[1, 1] \sim [0,1]\;</math>,
stąd zaś dla dowolnego
: <math>[a, b] = [a, b] \cdot [1, 1] \sim [a, b] \cdot [0, 1] = [0, b] \sim [0, 1]</math>,
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa <math>[0, 1]</math>, a z definicji [[Ciało (matematyka)|ciało]] ma przynajmniej dwa różne elementy.
▲Przedstawienie liczby <math>k\;</math> w postaci ułamka <math>\tfrac{k}{1}</math> prowadzi do wzorów: qe
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
== qwe ==
▲Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są [[wielomian]]ami, to nazywa się go [[wyrażenie wymierne| wyrażeniem wymiernymrnym]]; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób [[funkcja wymierna|funkcję wymierną]]. Jeżeli [[stopień wielomianu|stopień]] licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernejwymqwerzenie ułamków bardzo się komplikuje.
== Typografia ==
{{Oznaczenia matematyczne}}
Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją '''[[ukośnik]]iem''', np. {{Uł|3|4}}; jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją '''kreską ułamkową''', np. <math>\tfrac{3}{4}</math>.
! Nazwa !! Znak !! [[Unicode]] !! Kod [[HTML]]
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna czwarta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ¼ || U+00BC || <code>&#xBC;</code> lub <code>&#188;</code>qwe
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna druga'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ½ || U+00BD || <code>&#xBD;</code> lub <code>&#189;</code>qe
|-
| style="text-align:left" | ''Trzy czwarte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ¾ || U+00BE || <code>&#xBE;</code> lub <code>&#190;</code>qew
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna siódma'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅐ || U+2150 || <code>&#x2150;</code> lub <code>&#8528;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna dziewiąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅑ || U+2151 || <code>&#x2151;</code> lub <code>&#8529;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna dziesiąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅒ || U+2152 || <code>&#x2152;</code> lub <code>&#8530;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna trzecia'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅓ || U+2153 || <code>&#x2153;</code> lub <code>&#8531;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Dwie trzecie'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅔ || U+2154 || <code>&#x2154;</code> lub <code>&#8532;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna piąta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅕ || U+2155 || <code>&#x2155;</code> lub <code>&#8533;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Dwie piąte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅖ || U+2156 || <code>&#x2156;</code> lub <code>&#8534;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Trzy piąte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅗ || U+2157 || <code>&#x2157;</code> lub <code>&#8535;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Cztery piąte'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅘ || U+2158 || <code>&#x2158;</code> lub <code>&#8536;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna szósta'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅙ || U+2159 || <code>&#x2159;</code> lub <code>&#8537;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Pięć szóstych'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅚ || U+215A || <code>&#x215A;</code> lub <code>&#8538;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Jedna ósma'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅛ || U+215B || <code>&#x215B;</code> lub <code>&#8539;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Trzy ósme'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅜ || U+215C || <code>&#x215C;</code> lub <code>&#8540;</code>
|-
| style="text-align:left" | ''Pięć ósmych'' || style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif" | ⅝ || U+215D || <code>&#x215D;</code> lub <code>&#8541;</code>
| 