Odkształcenie: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
źródła/przypisy, wikizacja |
|||
Linia 1:
'''Odkształcenie''' – miara deformacji ciała poddanego działaniu [[Siły zewnętrzne|sił zewnętrznych]]<ref name=":0">{{Cytuj|autor=|tytuł=Stan odkształcenia|data=wyszukano 6.12.2017|url=http://zasoby.open.agh.edu.pl/~10smgzyl/indexd058.html?module=articles&action=show&name=podstawy-stan-odksztalcenia#}}</ref>.
Aby móc mówić o odkształceniu, należy wyróżnić dwa stany ciała: początkowy i końcowy. Na podstawie różnic w położeniach punktów w tych dwóch stanach można wyznaczać liczbowe wartości odkształcenia.
Zależność pomiędzy stanem odkształcenia a [[naprężenie|naprężenia]] określa m.in. [[Prawo Hooke’a]].<ref name=":1">{{Cytuj|autor=|tytuł=Podstawy wytrzymałości materiałów. IMiR -IA- Wykład Nr 9. Analiza stanu odkształcenia|data=wyszukano 6.12.2017|url=http://zwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/IMiR_IA_Wyklad_09%20-%20Analiza%20stanu%20odksztalcenia.pdf}}</ref>
== Odkształcenie liniowe<ref>{{Cytuj|autor=Marek Dietrich|autor r=Jacek Stupicki|tytuł=Podstawy konstrukcji maszyn|data=1995|isbn=83-204-1940-9|wydanie=2|wolumin=tom 1|miejsce=Warszawa|wydawca=Wydawnictwo Naukowo-Techniczne|s=str. 644}}</ref> ==
Przy rozpatrywaniu [[rozciąganie|rozciągania]] bądź [[ściskanie|ściskania]], czyli odkształcenia liniowego w kierunku, wyznaczonym przez dwa dowolnie wybrane punkty <math>\;A\;i\;B\; </math>wewnątrz ciała nieobciążonego, można określić odległość <math>\;L\;</math> pomiędzy nimi. Po obciążeniu tego ciała siłami zewnętrznymi następuje jego deformacja, w wyniku czego odległość ta się zmienia o <math>\Delta L</math>. '''Odkształcenie liniowe''' ε w dowolnym punkcie ciała jest granicą ilorazu różnicy odległości <math>\Delta L</math> do odległości wyjściowej <math>L,</math> gdy odległość wyjściowa zmierza do zera tzn.
:: <math> \varepsilon = \mathop {\lim_{L \to 0}} \frac {{\Delta} {L} } {L}
Linia 12 ⟶ 11:
Innymi słowy przy definicji odkształcenia liniowego w punkcie ciała rozważa się zmiany odległości w bezpośrednim otoczeniu tego punktu.
== [[Odkształcenie liniowe]] - przypadek ogólny ==
Dla ciała o dowolnym kształcie, poddanego dowolnej deformacji, wartości odkształcenia liniowego mogą być różne w zależności od kierunku w jakim są badane. Jeśli rozpatrujemy odkształcenie liniowe w punkcie '''''A''''' położonym w początku układu współrzędnych i obierzemy punkt '''''B''''' leżący na osi '''''x''''' układu, który pod wpływem obciążenia przemieścił się do '''''B' ''''' to odkształcenie liniowe można zapisać jako:
:: <math>\varepsilon_x = \mathop {\lim_{B \to A}}{{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}</math>
Przeprowadzając podobną analizę dla osi '''''y''''' i '''''z''''' można otrzymać odpowiednio '''''ε<sub>y</sub>''''' i '''''ε<sub>z</sub>'''''. Mając dane pole [[przemieszczenie (mechanika)|przemieszczeń]] <math>\overrightarrow u</math> (czyli wartości wektora przemieszczenia dla wszystkich punktów ciała) można zapisać odkształcenia liniowe jako<ref name=":2">{{Cytuj|autor=Adam Bodnar|tytuł=Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.|data=wyszukano 6.12.2017|url=http://limba.wil.pk.edu.pl/zwm/06stanod.pdf}}</ref>:
:: <math>\varepsilon_x = {{\partial u_x} \over {\partial x}},\quad</math> <math>\varepsilon_y = {{\partial u_y} \over {\partial y}},\quad</math><math>\varepsilon_z = {{\partial u_z} \over {\partial z}}.</math>
== [[Odkształcenie postaciowe]] ==
Podobnie rozważa się zmiany miar kątowych w bezpośrednim otoczeniu punktu. Odkształcenie kątowe <math>\ \gamma\ </math> jest granicą ilorazu różnicy kąta pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi odcinkami w ciele nieobciążonym i obciążonym, gdy długości tych odcinków zmierzają do zera. Mając dane pole przemieszczeń jak wyżej można zapisać<ref name=":2" />:
:: <math>\gamma_{xy} = {{\partial u_x} \over {\partial y}} + {{\partial u_y} \over {\partial x}},\quad\gamma_{yz} = {{\partial u_y} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial y}},\quad\gamma_{xz} = {{\partial u_x} \over {\partial z}} + {{\partial u_z} \over {\partial x}}.</math>
== Odkształcenie objętościowe<ref name=":1" /> ==
Chociaż odkształcenia liniowe <math>\ \varepsilon\ </math> i kątowe <math>\ \gamma\ </math> w pełni definiują stan odkształcenia, możliwe jest wyznaczenie innych charakterystycznych wartości odkształceń. Jednym z nich jest '''odkształcenie objętościowe''', które jest miarą zmiany objętości ciała. Z definicji odkształcenie objętościowe to:
: <math>\vartheta = \lim_{V^{(0)} \to 0}{V - V^{(0)} \over {V^{(0)}}}</math>
Linia 37 ⟶ 34:
lub w [[notacja tensorowa|notacji tensorowej]]:
:: <math>\varepsilon = {1 \over 2} ( \vec{\nabla}\vec{u} + (\vec{\nabla}\vec{u})^T)</math>
Porównując zapis tensorowy z tradycyjnym, dla przypadku [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskiego układu współrzędnych]], otrzymuje się<ref name=":0" />:
:: <math>\varepsilon_{ij}=
\left[{\begin{matrix}
Linia 51 ⟶ 48:
gdzie: '''''g<sup>ij</sup>''''' - kontrawariantny [[tensor metryczny]] lub w notacji tensorowej: <math>\vartheta = tr(\varepsilon)</math>
== Przypadek dużych odkształceń<ref>{{Cytuj|autor=|tytuł=Notatki do wykładu. Fizyka osrodków ciagłych. Fizyka techniczna sem. VI|data=wyszukano 6.12.2017|url=https://fizyka.p.lodz.pl/pl/download/resource/4516}}</ref> ==
Powyższe rozważania dotyczą tzw. ''przypadku małych odkształceń''. Jest dyskusyjnym, co można nazywać małymi odkształceniami. Nie ma tu konkretnych rozgraniczeń, należy być jednak świadomym rosnących błędów wraz ze wzrostem odkształceń.
| |||