Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

→‎Podstawienia Eulera: usunięcie pierwszej osoby, jęz.
(Poprawienie zapisu logarytmu do potęgi.)
(→‎Podstawienia Eulera: usunięcie pierwszej osoby, jęz.)
 
=== Podstawienia Eulera ===
Podstawienia [[Leonhard Euler|Eulera]] stosujemystosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci <math>R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x)</math>, gdzie R jest [[funkcja wymierna|funkcją wymierną]].
==== I podstawienie Eulera ====
I podstawienie stosować można stosować, gdy a>0. PrzyjmujemyPrzyjmuje się wtedy: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\;x</math>. Wobec tego otrzymujemyotrzymuje się:
 
:<math>ax^2+bx+c=ax^2-2\sqrt{a}\;x\;t+t^2 \implies x(b+2\sqrt{a}\;t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\;t}</math>,
:<math>dx=\frac{2t(b+2\sqrt{a}\;t)-2\sqrt{a}\;(t^2-c)}{(b+2\sqrt{a}\;t)^2}dt</math>.
 
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamyzachodzi: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\;\frac{c-t^2}{b+2\sqrt{a}\;t}+t</math>.
 
==== II podstawienie Eulera ====
II podstawienie stosować można stosować, gdy c>0. PrzyjmujemyPrzyjmuje się wówczaswtedy:
<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math>. Mamy zatemZachodzi:
 
<math>ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2}</math>,
<math>dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt</math>.
 
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, otrzymujemyotrzymuje się: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}</math>.
 
Jeżeli drugieDrugie podstawienie Eulera zapiszemymożna zapisać następująco:
<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=(x-\alpha)t-\sqrt{\lambda}</math>.
toWtedy gdy <math> (a>0) \vee (b^2-4ac>0)</math>, to da się tak dobrać <math>\alpha</math>,
aby <math>\lambda>0</math>.
 
==== III podstawienie Eulera ====
III podstawienie stosować można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub> trójmianu <math>ax^2+bx+c</math>. PrzyjmujemyPrzyjmuje się wtedy: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1)</math>. Stąd:
 
:<math>(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}</math>,
:<math>dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a)^2}dt</math>.
 
Zgodnie z przyjętym podstawieniem, mamyzachodzi: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t\left( \frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}-x_1\right) </math>.
 
=== Całkowanie różniczek dwumiennych ===
23 943

edycje