Otwórz menu główne

Zmiany

drobne merytoryczne
{{spis treści}}
'''Aksjomaty Zermela'''<ref group = uwaga>W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty '''Zermelo'''”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „'''Zermeli'''”.</ref>'''-Fraenkla'''<ref group = uwaga>Znacznie rzadziej występuje oboczność '''„Fraenkela”'''.</ref>, '''aksjomatyka Zermela-Fraenkla''' – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów [[teoria mnogości|teorii mnogości]] zaproponowany przez [[Ernst Zermelo|Ernsta Zermela]] w 1904 roku i później uzupełniony przez [[Abraham Fraenkel|Abrahama Fraenkla]]. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były [[funkcja|funkcje]]<ref group="uwaga" name="ao">Umożliwiają one m.in. konstrukcję <math>\aleph_\omega</math>. Przykładowo <math>2^{\aleph_0}</math> może być równe m.in. <math>\aleph_1</math>, czy <math>\aleph_2</math>… (jedynym ograniczeniem na <math>2^x</math> jest <math>\mathrm{cf}(2^x) > x</math>, zob. [[współkońcowość]]). Pierwszym zbiorem, którym nie może być <math>2^{\aleph_0}</math> jest <math>2^{\aleph_\omega}</math>.</ref>.
 
Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę '''ZF'''. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]], stosuje się także obok '''ZF''' oznaczenie '''ZFC''' dla zaznaczenia, że dowód jakiegoś twierdzenie wymaga lub nie wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.
 
== Historia ==
wW 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw [[aksjomat]]ów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji [[liczby porządkowe|liczb porządkowych]]. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych<ref group="uwaga" name="ao"></ref>. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i [[Thoralf Skolem]] zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku predykatów]] z [[równość (matematyka)|równością]], w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie [[aksjomat podzbiorów|aksjomatu podzbiorów]] przez [[aksjomat zastępowania]]. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela [[aksjomat regularności]], zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.
 
==Aksjomaty Zermela-Fraenkla==
Anonimowy użytkownik