Proces stochastyczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
przeniesione z Twierdzenie Kołmogorowa o ciągłości procesów |
|||
Linia 5:
== Definicja ==
Niech <math>T</math> będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać '''zbiorem indeksów''', <math>(\Omega, \mathcal{A}, \mathsf P)</math> będzie przestrzenią probabilistyczną oraz <math>(E, \mathfrak{M})</math> będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych
: <math>X=(X_t)_{t\in T}</math>,
to znaczy rodzinę [[funkcja mierzalna|funkcji <math>\mathcal{A}/\mathfrak{M}</math>-mierzalnych]] nazywamy '''procesem stochastycznym'''.
Przestrzeń <math>(E, \mathfrak{M})</math> nazywamy '''przestrzenią fazową''' albo '''przestrzenią stanów''' procesu <math>X</math>.
Często za zbiór <math>T</math> przyjmuje się przedział <math>[0,\infty)</math> lub zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], za <math>E</math> zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], a za <math>\mathfrak{M}</math>
Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy '''łańcuchami''' (zob. [[łańcuch Markowa]]).
=== Modyfikacje procesów stochastycznych ===
Procesy stochastyczne <math>X=(X_t)_{t\in T}</math> i <math>Y=(Y_t)_{t\in T}</math> nazywamy '''(wzajemnymi) modyfikacjami''', gdy dla każdego <math>t\in T</math>:
: <math>\mathsf P(\{\omega \in \Omega\colon X_t(\omega)\neq Y_t(\omega)\})=0</math>.
Modyfikację <math>Y</math> procesu <math>X</math> nazywamy '''ciągłą''', gdy dla każdego <math>\omega\in \Omega</math> trajektoria
: <math>T\ni t \mapsto Y_t(\omega)</math>
jest ciągła.
=== Związek z wielowymiarową zmienną losową ===
| |||