Równanie rekurencyjne: Różnice pomiędzy wersjami

: <math>a_{n}a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2} \,</math>,

Załóżmy, że ma ono rozwiązanie postaci <math>a_{n}=r^{n}\;</math>. Podstawiając otrzymujemy:

: <math>r^n=Ar^{n-1}+Br^{n-2}.\,</math>

Dzieląc przez <math>r^{n-2}\;</math>,:

: <math>r^2=Ar+B\;</math>,

: <math>r^2-Ar-B=0\;</math>.

: <math>a_n = Cr_1^n+Dr_2^n \,</math>.

: <math>a_n = (C+Dn)r_1^n \,</math>.

''C'' i ''D'' są dowolnymi stałymi a <math>r_1</math> i <math>r_2</math> są pierwiastkami równania charakterystycznego. Jeżeli dane jest <math>a_{1}a_1</math> i <math>a_{2}a_2</math> wówczas można łatwo ułożyć układ równań i otrzymać ich wartość.

: <math>a_{n}a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \,</math>.

: <math>a_{0}a_0=0, a_{1}a_1=1\,</math>.

: <math>r^2-r-1=0\;</math>.

: <math>r_1={1+\sqrt{5}sqrt5\over 2over2}; \quad r_2={1-\sqrt{5}sqrt5\over 2over2}</math>.

: <math>a_n = Ar_1^n+Br_2^n \,</math>.

Korzystając z warunków początkowych, układamy układ równań:

: <math>\begin{cases} a_{0}a_0 = 0: A + B = 0, \\ a_{1}a_1 = 1: Ar_1 + Br_2 = 1 \end{cases}.</math>

: <math>A={1\over \sqrt{5}sqrt5}; \quad B=-{1\over \sqrt{5}sqrt5}</math>.

: <math>a_n = \frac{1}{frac1\sqrt 5}sqrt5\left(\frac{1 + \sqrt 5sqrt5}{2}\right)^n - \frac{1}{frac1\sqrt 5}sqrt5\left(\frac{1 - \sqrt 5sqrt5}{2}\right)^n</math>.