Aproksymacja: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Redukuję wywołanie Szablon:Przypisy i dodaję nagłówek |
|||
Linia 1:
{{dopracować|więcej przypisów=2012-09}}
'''Aproksymacja''' ({{Łac.|approximare}} – przybliżać)<ref>[http://www.slownik-online.pl/kopalinski/59A5C9CAC7BE7D60412565A100519BCF.php ''Słownik Wyrazów Obcych''].</ref> – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Zazwyczaj aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi. Często stosowana w przypadku szukania rozwiązań dla danych uzyskanych metodami empirycznymi, które mogą być obarczone błędami{{odn|Fortuna|Macukow|Wąsowski|1993|s=73}}.
== Zadanie najlepszej aproksymacji ==
Niech dana będzie [[przestrzeń liniowa]] <math>X</math> z [[Przestrzeń unormowana|normą]] <math>\|\cdot\|</math> i niech <math>V \subset X</math> będzie podprzestrzenią liniową <math>X</math> skończonego wymiaru. Zadanie najlepszej aproksymacji polega na znalezieniu takiego <math>
Należy przez to rozumieć, że element <math>v^*</math> jest elementem
▲: <math>\displaystyle{\forall{v \in V}}\quad\|x - v^*\| \leqslant \|x-v\|</math>
Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne, tzn. dla każdego <math>x \in X
▲Należy przez to rozumieć, że element <math>v^*</math> jest elementem „najbliższym ”do aproksymowanego <math>x</math> spośród wszystkich elementów <math>v \in V </math>.
▲Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne tzn. dla każdego <math>x \in X </math> istnieje element najlepszej aproksymacji <math>v^*</math>, ale niekoniecznie jest on jedyny. Należy zauważyć, że element najlepszej aproksymacji zależy od normy, jaka została przyjęta w przestrzeni <math>X</math>.
=== Zadanie najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unitarnych ===
Linia 21 ⟶ 20:
Aproksymacje można wykorzystać w sytuacji, gdy nie istnieje [[funkcja analityczna]] pozwalająca na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Mogą to być na przykład wyniki badań [[aktywność biologiczna|aktywności biologicznej]] dla wielu konfiguracji [[lek]]ów. Do wyznaczenia aproksymowanej aktywności biologicznej nieznanego leku można wówczas zastosować jedną z wielu metod aproksymacyjnych.
Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. [[funkcje bazowe|funkcji bazowych]]{{odn|Fortuna|Macukow|Wąsowski|1993|s=74}}. Od funkcji aproksymującej, przybliżającej zadaną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty, tak jak to ma miejsce w [[interpolacja (matematyka)|interpolacji]]. Z matematycznego punktu widzenia aproksymacja funkcji <math>f</math> w pewnej [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] <math>H</math> jest zagadnieniem polegającym na odnalezieniu pewnej funkcji <math>g\in G,</math> gdzie <math>G</math> jest podprzestrzenią <math>H</math>, tj. <math>G\subset H
Aproksymacja funkcji powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji{{odn|Fortuna|Macukow|Wąsowski|1993|s=73}}. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być [[wielomian]]em wysokiego stopnia (w ogóle nie musi być
Istnieje wiele metod aproksymacyjnych. Jednymi z najbardziej popularnych są: [[aproksymacja średniokwadratowa]] i [[aproksymacja jednostajna]] oraz [[aproksymacja liniowa]], gdzie funkcją bazową jest [[funkcja liniowa]].
Wiele z metod aproksymacyjnych posiada fazę wstępną, zwaną również fazą uczenia, oraz fazę pracy. W fazie wstępnej, metody te wykorzystując zadane pary punktów i odpowiadających im wartości aproksymacyjnych, niejako „dostosowują” swoją strukturę wewnętrzną zapisując dane, które zostaną wykorzystane później w fazie pracy, gdzie dla zadanego punktu dana metoda wygeneruje odpowiadającą mu wartość bądź wartości aproksymowane. Funkcja aproksymująca może być przedstawiona w różnej postaci. Najczęściej jest to postać:
Linia 32 ⟶ 31:
* funkcji matematycznych uzyskanych na drodze statystyki matematycznej (przede wszystkim [[Regresja liniowa|regresji]]),
* sztucznych [[Sieć neuronowa|sieci neuronowych]].
Funkcje aproksymujące w postaci wielomianu i funkcji sklejanych można wykorzystać nie tylko wtedy, gdy funkcja aproksymowana jest w postaci jednej zmiennej.
Linia 45:
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko=Fortuna |imię=Zenon |
[[Kategoria:Aproksymacja| ]]
| |||