Odcinek: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Kontrola autorytatywna, WP:SK |
|||
Linia 4:
W [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]] z [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układem współrzędnych]] ''XYZ'' odcinek o końcach <math>(x_1,y_1,z_1),\ (x_2,y_2,z_2)</math> jest [[zbiór|zbiorem]] [[punkt (geometria)|punktów]] <math>(x,y,z)</math> opisanych [[układ równań|układem równań]]
: <math>\
x=x_1+t(x_2-x_1),\\
▲z=z_1+t(z_2-z_1),
▲\right.</math>
albo równoważnie
: <math>\
▲y=(1-t)y_1+ty_2,
z=(1-t)z_1+tz_2,
\end{
gdzie
: <math>0\leqslant t\leqslant 1.</math>
W przestrzeni jednowymiarowej (na [[oś liczbowa|osi liczbowej]]) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:
: <math>x=x_1+t(x_2-x_1),
czyli:
: <math>x=(1-t)x_1+tx_2
przy <math>0\leqslant t\leqslant 1</math>, stając się równoważną definicji [[przedział (matematyka)|przedziału]] <math>[x_1, x_2]</math>.
W [[przestrzeń dwuwymiarowa|przestrzeni dwuwymiarowej]] powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie [[wymiar (matematyka)|wymiarów]] należy dopisać kolejne równania.
== Uogólnienie na przestrzenie wektorowe ==
W dowolnej [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni wektorowej]] odcinek ''AB'' (tzn. odcinek o końcach ''A'' i ''B'' będących punktami tej przestrzeni) jest [[zbiór|zbiorem]] punktów leżących
: <math>AB\ =\ \{ (1-t)\cdot A+t\cdot B :\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.</math>
Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.
== Uogólnienie na przestrzenie metryczne ==
W [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] odcinek o końcach ''A'' i ''B'' można definiować jako [[zbiór]] punktów ''X'' tej przestrzeni leżących
: odległość od ''A'' do ''B'' równa jest sumie odległości od ''A'' do ''X'' i od ''X'' do ''B''.
Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:
: <math>\sigma_{AB}=\sigma_{AX}+\sigma_{XB},
gdzie <math>\sigma_{PQ}</math> jest odległością pomiędzy ''P'' i ''Q'' według [[przestrzeń metryczna|metryki]] obowiązującej w danej przestrzeni.
| |||