Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Poprawa objaśnienia ogólnego wzoru Gaussa-Ostrogradskiego |
m drobne techniczne |
||
Linia 5:
== Teza ==
Niech <math>V \subset \mathbb R^3 </math> będzie [[obszar]]em ograniczonym [[powierzchnia|powierzchnią]] zamkniętą <math>S</math>, a <math>P(x, y, z), Q(x, y, z)</math> i <math>R(x, y, z)</math> będą funkcjami posiadającymi ciągłe [[pochodna cząstkowa|pochodne cząstkowe]] pierwszego rzędu na obszarze <math>V</math>. Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:
: <math>\iint\limits_S (P\; dy dz + Q\; dz dx + R\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z} \right)\; dx dy dz</math>▼
▲<math>\iint\limits_S (P\; dy dz + Q\; dz dx + R\; dx dy) = \iiint\limits_V \left( {\partial P \over \partial x} + {\partial Q \over \partial y} + {\partial R \over \partial z} \right)\; dx dy dz</math>
Przy czym całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni <math>S</math>.
Linia 17 ⟶ 16:
:<math>S_2=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D \wedge z \in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\}</math> (gdzie <math>\partial D</math> oznacza brzeg obszaru <math>D</math>)
:<math>S_3=\{(x,y,g_2(x,y))\colon (x,y)\in D\}</math>
Ale dla <math>S_2</math> trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla <math>S_1</math> wektor normalny ma postać <math>\pm \left[\frac{\partial g_1}{\partial x}, \frac{\partial g_1}{\partial y}, -1\right]</math>. Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni <math>S</math>. Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi <math>-1</math>. Analogicznie dla powierzchni <math>S_3</math> wektor normalny wynosi <math>\left[-\frac{\partial g_2}{\partial x}, -\frac{\partial g_2}{\partial y}, 1\right]</math>.
Weźmy składową <math>R</math> [[pole wektorowe|pola wektorowego]]. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:
:<math>\iint\limits_S Rdx \, dy = \iint\limits_{S_1} Rdx \, dy + \iint\limits_{S_3} Rdx \, dy = \iint\limits_D R(x,y,g_2(x,y)) dx \, dy - \iint\limits_D R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy = </math>
: <math>= \iint\limits_D (R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy</math>
Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:
:<math>\iiint\limits_V \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dx \, dy \, dz = \iint\limits_D dx \, dy \int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dz</math>
Dalej stosując [[Twierdzenie Newtona-Leibniza]] otrzymujemy:
: <math>\iiint\limits_V \frac{\partial R}{\partial z} dx \, dy \, dz = \iint\limits_D (R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy</math>
Dowody dla składowych <math>P</math> i <math>Q</math> są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.
Linia 35 ⟶ 37:
Niech <math>\vec A</math> będzie dowolnym [[pole wektorowe|polem wektorowym]], dla którego istnieje [[dywergencja]] na całym zamkniętym obszarze o objętości <math>V</math>, otoczonej powierzchnią <math>S</math>. Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać
: <math>\int\limits_S \vec {\mathbf A}\cdot d \vec{\mathbf S} = \int\limits_V \left(\nabla \cdot \vec {\mathbf A} \right)\; dV</math>
| |||