Pochodna zupełna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
→‎Bibliografia: drobne redakcyjne
Dodano motywację pojęcia pochodnej zupełnej oraz przykład.
Linia 13:
 
: <math>x=x(t), y=y(t), \cdots</math>
 
== Motywacja ==
Załóżmy, że ''<math>f</math>'' jest funkcją dwóch zmiennych, ''<math>x</math>'' and ''<math>y</math>''. Zazwyczaj zmienne te traktuje się jako niezależne. Jednak w pewnych sytuacjach jedna zmienna może być zależna od drugiej. Np. ''<math>y</math>'' związane jest z ''<math>x</math>'', gdy ograniczamy dziedzinę funkcji do pewnej krzywej w <math>\mathbb{R}^2</math>. W tym wypadku zmiana wartości funkcji związana ze zmianą ''<math>x</math>'' wyraża się poprzez pochodną zupełną
 
== Przykład ==
Niech będzie dana funkcja
 
: <math>f(x,y)=xy</math>
 
oraz załóżmy, że ograniczamy się do dziedziny, takiej że
 
: <math>y=x</math>
 
Zmiana funkcji spowodowana zmianą zmiennej <math>x</math> jest dana za pomocą pochodnej cząstkowej
 
: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = y</math>.
 
Jednak ponieważ ''<math>y</math>'' zależy od ''<math>x</math>'', to zmiana <math>x</math> powoduje także zmianę ''<math>y</math>'', a tym samym zmianę funkcji. Podstawiając tę zależność do funkcji otrzyma się funkcję jednej zmiennej <math>x</math>
 
: <math>g(x)\equiv f(x,y(x))= x^2</math>
 
Obliczając pochodną funkcji <math>g</math> względem otrzymamy
 
: <math>\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} = 2 x</math>.
 
Zamiast tego można obliczyć pochodną zupełną funkcji <math>f</math>
 
: <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y+x \cdot 1 = x+y = 2x</math>
 
Widać stąd, że obliczanie pochodnej zupełnej pozwala pominąć etap podstawiania zależności funkcyjnych zmiennych zależnych od zmiennej niezależnej do wyrażenia na funkcję wielu zmiennych.
 
== Różniczka zupełna funkcji ==