Pochodna zupełna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano motywację pojęcia pochodnej zupełnej oraz przykład. |
→Różniczka zupełna funkcji: drobne redakcyjne |
||
Linia 18:
== Przykład ==
('''1''') Niech będzie dana funkcja
: <math>f(x,y)=xy</math>
Linia 26:
: <math>y=x</math>
('''2''') Zmiana funkcji spowodowana zmianą zmiennej <math>x</math> jest dana za pomocą pochodnej cząstkowej
: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = y</math>.
Jednak ponieważ ''<math>y</math>'' zależy od ''<math>x</math>'', to zmiana <math>x</math> powoduje także zmianę ''<math>y</math>'', a tym samym zmianę funkcji.
('''3''') Podstawiając : <math>g(x)\equiv f(x,y(x))= x^2</math>
Linia 38 ⟶ 40:
: <math>\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} = 2 x</math>.
('''4''') Zamiast tego można obliczyć pochodną zupełną funkcji <math>f</math>
: <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y+x \cdot 1 = x+y = 2x</math>
('''5''') Widać stąd, że:
Widać stąd, że obliczanie pochodnej zupełnej pozwala pominąć etap podstawiania zależności funkcyjnych zmiennych zależnych od zmiennej niezależnej do wyrażenia na funkcję wielu zmiennych.▼
▲
== Różniczka zupełna funkcji ==
| |||