Energia potencjalna: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:Mediaeval archery reenactment.jpg|250px|thumb|Gdy łucznik napina łuk, wykonuje pracę; energia biochemiczna łucznika zamienia się w energię potencjalną sprężystości w zgiętej części łuku. Gdy cięciwa zostaje puszczona, cięciwa działająca siłą na strzałę wykonuje na niej pracę. W ten sposób energia potencjalna łuku jest przemieniana w energię kinetyczną strzały.]]

[[Plik:Gravitymacroscopic.svg|thumb|250px|Pole grawitacyjne Ziemi dla dużych odległości jest polem centralnym.]]

'''Energia potencjalna ''' – [[Energia (fizyka)|energia]], jaką ma ciało lub układ ciał w zależności od położenia ciała (układu ciał) w przestrzeni. Pojęcie energii potencjalnej można wprowadzić jedynie wtedy, gdy ciało (układ ciał) oddziałuje z ''niezależnym od czasu'' polem [[Potencjał|sił potencjalnych]]<ref name="Krolikowski">{{cytuj książkę|autor=W. Królikowski, W. Rubinowicz| tytuł=Mechanika teoretyczna|wydawca=PWN|miejsce=Warszawa|data=2012|strony=64}}</ref>.

 

== Definicja energii potencjalnej ==

W przypadku pojedynczego ciała energia potencjalna <math>E_p(\vec r)</math> jest równa [[praca (fizyka)|pracy]], jaką trzeba by wykonać, przemieszczając ciało z ustalonego położenia <math>\vec r_0</math> do położenia <math>\vec r</math>. Ponieważ w ogólności siła zależy od położenia ciała w przestrzeni, to pracę tę trzeba wyrazić jako [[Całka krzywoliniowa|całkę po krzywej]], po której dokonuje się przemieszczenia ciała<ref name="Kittel">{{cytuj książkę|autor=C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman|tytuł=Mechanika|wydawca=Wydawnictwo Naukowe PWN| miejsce=Warszawa|data=1993|strony=180-181}}</ref>

 

gdzie <math>\vec F_z(r)</math> jest siłą zewnętrzną równoważącą siłę pola w położeniu <math>\vec r</math>.

Energia potencjalna ciała o masie '''''m''''' umieszczonego na wysokość '''''h''''' nad poziomem odniesienia jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na tę wysokość

:: <math>E_p(h) = \int_0^h F_z(x) dx = F_z h = mgh\,</math>

gdyż siła <math>F_z(x)=mg</math> jest stała, równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy ''m'' i [[przyspieszenie ziemskie|przyspieszenia ziemskiego]].

 

==== Energia potencjalna na zewnątrz jednorodnej kuli ====

Siła zewnętrzna potrzebna do przemieszczenia ciała o masie '''''m''''' w polu grawitacyjnym ciała o znacznie większej masie '''''M''''' (będącej źródłem [[pole grawitacyjne|pola grawitacyjnego]]) ma postać:

gdzie:

: <math>\vec r</math> – wektor położenia ciała o masie '''''m,''''' zaczepiony w środku ciała o masie '''''M '''''

 

Jako położenie <math>\vec r_0</math> , dla którego energia z założenia ma wartość 0, najwygodniej jest przyjąć [[nieskończoność]] (tam siła grawitacji wynosi 0). Zgodnie z definicją energia potencjalna ciała w położeniu <math>\vec r</math> jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia ciała z ustalonego punktu <math>\vec r_0</math> (w nieskończoności) do położenia <math>\vec r</math>:

'''Zamieniamy granice całkowania, tak by dolna granica była mniejsza niż górna, co jest warunkiem poprawnego obliczenia [[Całka Riemanna|całki oznaczonej]] (!)'''

Teraz wektor przemieszczenia ma postać <math>\vec dr=dr\frac{\vec r}{r}</math> , gdzie <math>dr</math> - przyrost wektora <math>\vec r</math>, stąd mamy:

i otrzymamy:

 

czyli

Powyższy wzór jest słuszny dla '''''r''''' > 0, oraz przy założeniu, że źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Jeżeli źródłem pola grawitacyjnego jest kula o promieniu '''''R''''', to powyżej przeprowadzone całkowanie jest słuszne na zewnątrz kuli.

 

==== Energia potencjalna wewnątrz jednorodnej kuli ====

Obliczając potencjał wewnątrz kuli skorzystamy z faktu, że siła grawitacyjna działająca na ciało umieszczone wewnątrz jednorodnej kuli pochodzi od masy tej części kuli, która jest bliżej środka niż miejsce, w którym wyznaczamy energię, czyli:

 

Wykonując do końca całkowanie otrzymuje się energię potencjalną wewnątrz kuli o masie '''''M''''' i promieniu '''''R'''''

:: <math>E_{p}(r)=-\frac 3 2 \frac{GmM}{R} +\frac 1 2 \frac{GmM}{R^3}r^2</math>

Dla małych wartości przemieszczenia <math>x</math> wartość [[siła sprężystości|siły sprężystości]] <math>F</math> wyraża się wzorem

:: <math>F(x)=- k x\,</math>

gdzie:

przy czym znak "minus" jest dlatego, że siła sprężystości jest zawsze skierowana przeciwnie do przemieszczenia od położenia równowagi.

 

Jeżeli dla pewnego położenia <math>\vec r_m</math> układu w przestrzeni (lub dla pewnej konfiguracji <math>\vec r_m</math>) energia potencjalna osiąga lokalne [[Ekstremum funkcji|ekstremum]], to gradient energii potencjalnej zeruje się

:: <math>\nabla E_p(\vec r_m)=0</math>

czyli znikają siły działające na ciało. Położenie <math>\vec r_m</math> jest więc położeniem [[Równowaga (mechanika)|równowagi]] układu. Jeśli jest to [[Funkcje minimum i maksimum|minimum]] energii potencjalnej – równowaga jest trwała, gdyż nawet niewielkie odejście od <math>\vec r_m</math> powoduje pojawienie się siły, sprowadzającej układ do stanu równowagi; gdy energia potencjalna ma maksimum w <math>\vec r_m</math>, to równowaga jest nietrwała. Gdy energia potencjalna ma kilka lokalnych ekstremów, to oznacza, że układ może być w równowadze w więcej niż w jednym punkcie.

 

'''Przykład:''' Jak omówiono wyżej (por. [[#Energia potencjalna sprężystości|Energia potencjalna sprężystości]]) układ poddany działaniu siły sprężystej ma energię potencjalną

:: <math>E_p(x) = \frac{1}{2}\, k\, x^2 </math>

Pochodna energii względem x wynosi

Pochodna zeruje się dla ''x ''= 0; w punkcie tym pochodna ma minimum absolutne. Wynika stąd, że układ drgający pod wpływem siły sprężystej ma dla ''x ''= 0 położenie równowagi trwałej. Rezultat ten jest zgodny z rzeczywistością - np. ciało na sprężynie wychylone od położenia równowagi zacznie wykonywać drgania; po pewnym czasie, zależnym od tłumienia, zatrzyma się w położeniu równowagi. Z przykładu tego widać, że warunek na minimum energii potencjalnej pozwala łatwo znaleźć punkty równowagi. Np. w przypadku oscylatora harmonicznego tłumionego bezpośrednie znalezienie punktu równowagi z równania ruchu układu wymagałoby rozwiązania złożonego równania różniczkowego (por. [[Ruch harmoniczny#Ruch harmoniczny tłumiony|Ruch harmoniczny tłumiony]]).

 

Pracę potrzebną do przemieszczenia ciała od punktu ''A'' do punktu ''B'' można obliczyć jako różnicę energii potencjalnych tego ciała w punktach ''B'' i ''A''

:: <math>W_{A\to B}=E_p(\vec r_B)-E_p(\vec r_A) </math>

Jeżeli praca ta jest dodatnia, to ciała zyskuje energię potencjalną kosztem innej formy energii. W ten sposób można obliczyć np. energię potrzebną do przeniesienia satelity z powierzchni Ziemi do nieskończoności:

:: <math>W_{R_Z\to \infty}=0-E_p(R_Z)=\frac{GmM}{R_Z} </math>

gdzie <math>R_Z </math> - promień Ziemi.

 

Wzór na energię pola grawitacyjnego w postaci '''''E'''''='''''mgh''''' (por. [[#Energia potencjalna grawitacji#W jednorodnym polu grawitacyjnym|wyżej]]) jest przybliżeniem wzoru ogólnego na pracę w polu grawitacyjnym. Mianowicie, energia potencjalna na wysokości '''''h''''' jest równa pracy, potrzebnej do podniesienia ciała z poziomu odniesienia na wysokość '''''h'''''. Jako poziom odniesienia przyjmiemy promień Ziemi R_z:

:: <math>W_{R_Z\to R_Z+h}=E_p(R_Z+h)-E_p(R_Z)=-\frac{GmM}{R_Z+h}-\bigg(\!\!-\frac{GmM}{R_Z}\bigg) </math>

Po dodaniu ułamków otrzyma się:

:: <math>W_{R_Z\to R_Z+h}=GMm\frac h {(R_Z+h)R_Z}\approx GMm\frac h {R_Z^2} </math>

przy czym wykonane tu przybliżenie jest słuszne, gdy przesunięcie '''''h''''' ciała jest niewielkie wobec promienia Ziemi ('''''R_z''''' ≈ 6400 km, np. dla ''h''=100 km popełniany błąd względny przybliżenia będzie wynosił 1,6%). Z prawa grawitacji Newtona wynika, że przyspieszenie, jakiego doznaje ciało o masie '''''m''''' pod wpływem siły grawitacji wynosi

:: <math>g=\frac F m=\frac {GM} {R_Z^2} </math>

Uwzględniając to otrzyma się

:: <math>W_{R_Z\to R_Z+h}=m g h </math>

czyli wzór na energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego.

 

* [[energia kinetyczna]]

* [[potencjał|potencjał pola sił]]

* [[siła zachowawcza]]

* [[zasada zachowania energii]]

 

== Przypisy ==