Funkcjonał: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
m drobne techniczne |
||
Linia 10:
Funkcja
: <math>x_0\mapsto f(x_0)</math>
przekształca [[Argument (matematyka)|argument]] <math>x_0</math> na wartość funkcji <math>f</math> punkcie <math>x_0</math>. Natomiast funkcjonał
: <math>f\mapsto f(x_0)</math>
przekształca funkcję <math>f</math> na jej wartość w punkcie <math>x_0</math>.
Jeśli <math>f</math> jest [[Przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie wyznaczone przez <math>x_0</math> jest dualne do funkcji <math>f</math> i obydwa przekształcenia są [[Forma liniowa|funcjonałami liniowymi]].
=== Całka oznaczona ===
Linia 22:
Całki postaci
: <math>f\mapsto I[f]=\int_{a}^{b} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mbox{d}x</math>
gdzie:
: <math>H</math> – funkcja o wartościach [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]],
tworzy pewną klasę funkcjonałów przekształcających funkcję <math>f</math> na [[Liczby rzeczywiste|liczbę rzeczywistą]].
W szczególności należą do tej klasy:
* pole pod wykresem nieujemnej funkcji <math>f</math>
Linia 40 ⟶ 43:
== Równanie funkcyjne ==
{{osobny artykuł|Równanie funkcyjne}}
Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci <math>F = G</math> są funkcje, dla których wartości funkcjonałów <math>F</math> i <math>G</math> są równe. Na przykład funkcja jest [[Funkcja addytywna|addytywna]] jeśli spełnia równanie funkcyjne:▼
▲są funkcje, dla których wartości funkcjonałów <math>F</math> i <math>G</math> są równe. Na przykład funkcja jest [[Funkcja addytywna|addytywna]] jeśli spełnia równanie funkcyjne:
: <math>f\left(x+y\right) = f\left(x\right) + f\left(y\right)</math>.
Linia 56 ⟶ 57:
::: <math>f(x)=\alpha_1\xi_1+\alpha_2\xi_2+\ldots+\alpha_n\xi_n</math>
:: zwanej ''formą liniową'' [...]
a potem
:: (10.4) <math>\varphi(x,y)=\sum_{i,j=1}^n\alpha_{ij}\xi_i\eta_j</math>
:: [...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się ''formą dwuliniową''
Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. <math>f,\varphi</math> powyżej) są konsekwentnie określane jako ''funkcjonały''.
* Lang<ref>Lang, Serge: ''Algebra''. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. </ref> używa określenia ''funkcjonał'' na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej <math> V </math> (nad ciałem <math> K </math>) w ciało <math> K </math>. Słowo ''forma'' jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o ''formach wieloliniowych'', ''formach kwadratowych'' itd).
* Natomiast Komorowski<ref>Komorowski, Jacek: ''Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978. Strona 68.</ref> używa jedynie określenia ''forma'', pisząc
:: Elementy przestrzeni <math>V^*</math> nazywamy ''formami liniowymi'' na <math> V </math>; często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko ''formami''.
W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:
:: Elementy p.w. <math>L(V_1,\ldots,V_n; K)</math> nazywamy ''formami n-liniowymi''.
* Musielak<ref>Musielak, Julian: ''Wstęp do analizy funkcjonalnej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976. Strona 120</ref> pisze
:: [...] operator liniowy <math>T:X\longrightarrow {\mathbf K}</math> nazywamy ''funkcjonałem liniowym'' lub ''formą liniową''.
Jednak w pozostałych częściach tekstu używa on głównie zwrotu ''funkcjonał liniowy''.
== Zobacz też ==
* [[Teoria dystrybucji|dystrybucja]]▼
* [[forma liniowa]]
* [[forma dwuliniowa]]
* [[forma półtoraliniowa]]
* [[przestrzeń liniowa]]▼
* [[przestrzeń funkcyjna]]
▲* [[przestrzeń liniowa]]
▲* [[Teoria dystrybucji|dystrybucja]]
== Przypisy ==
| |||