Funkcjonał: Różnice pomiędzy wersjami

'''Funkcjonał''' – [[funkcja|przekształcenie]] z [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni wektorowej]] w [[Ciało (matematyka)|ciało]] skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami [[Skalar (matematyka)|skalary]]. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji -– wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za ''funkcję funkcji''.

Pojęcie funkcjonału pierwotnie pojawiło się w [[Rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnym]], który polega na znajdowaniu funkcji [[ekstremumEkstremum funkcji|ekstremalizującej]] pewien funkcjonał. Szczególnie istotnym zastosowaniem w [[Fizyka|fizyce]] jest znajdowanie stanu [[Układ fizyczny|układu]], dla którego funkcjonał [[Energia (fizyka)|energii]] osiąga minimum.

przekształca [[Argument (matematyka)|argument]] <math>x_0</math> na wartość funkcji <math>f</math> punkcie <math>x_0.</math>. Natomiast funkcjonał

przekształca funkcję <math>f</math> na jej wartość w punkcie <math>x_0.</math>.

: <math>f\mapsto I[f]=\int_{a}int_a^{b} H(f(x),f'(x),\ldots)\;\mboxtext{d}x</math>

Dla danego [[wektor]]a <math>\vec{x}</math> z przestrzeni wektorowej <math>X,</math>, iloczyn skalarny <math>\vec{x}</math> z wektorem <math>\vec{y}</math> oznaczony <math>\vec{x}\cdot\vec{y}</math> lub <math>\langle \vec{x},\vec{y} \rangle</math> jest skalarem. Dlatego <math>\vec{x}</math> wyznacza funkcjonał:

: <math>\vec{y} \mapsto \vec{x}\cdot\vec{y}.</math>.

: <math>f\left(x+y\right) = f\left(x\right) + f\left(y\right).</math>.

W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów ''forma'' i ''funkcjonał''.

* [[Bolesław Gleichgewicht|Gleichgewicht]]<ref>Bolesław Gleichgewicht, Bolesław: ''Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983., Wydaniewydanie III, s. Strony 175-177., {{ISBN|83-01-03903-5}}.</ref> wyraźnie rozróżnia termin ''funkcjonał'' od zwrotu ''forma''. Ten ostatni zwrot oznacza w jego książce formułę, wyrażenie formalne. I tak, na przykład, pisze on:

a potem

Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. <math>f,\varphi</math> powyżej) są konsekwentnie określane jako ''funkcjonały''.

* Lang<ref>Serge Lang, Serge: ''Algebra''. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973. </ref> używa określenia ''funkcjonał'' na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej <math> V </math> (nad ciałem <math> K </math>) w ciało <math> K .</math>. Słowo ''forma'' jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o ''formach wieloliniowych'', ''formach kwadratowych'' itd).

* Natomiast Komorowski<ref>Jacek Komorowski, Jacek: ''Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978., Stronas. 68.</ref> używa jedynie określenia ''forma'', pisząc

:: Elementy przestrzeni <math>V^*</math> nazywamy ''formami liniowymi'' na <math> V ;</math>; często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko ''formami''.

* Musielak<ref>Julian Musielak, Julian: ''Wstęp do analizy funkcjonalnej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. Strona 120.</ref> pisze

:: [...] operator liniowy <math>T:\colon X\longrightarrow {\mathbf K}</math> nazywamy ''funkcjonałem liniowym'' lub ''formą liniową''.

* {{cytuj książkę | imięnazwisko = SergeLang | nazwiskoimię = LangSerge | tytuł = Algebra | wydawca = [[Springer-Verlag]] | miejsce = Nowy York | rok = 2005 | rozdział = III. Modules, § 6. The dual space and dual module | strony = 142-146142–146}}

* {{cytuj stronę | url = http://mathworld.wolfram.com/Functional.html | tytuł = MathWorld Functional | autor = Rowland}}