Przestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

* ''dodawaniem wektorów:'' <math>V \times V \to V</math> oznaczanym <math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w,</math>, gdzie <math>\mathbf v, \mathbf w \in V</math> i

* ''[[mnożenie przez skalar|mnożeniem przez skalar]]:'' <math>K \times V \to V</math> oznaczanym <math>a\mathbf v,</math>, gdzie <math>a \in K</math> oraz <math>\mathbf v \in V,</math>,

#: Dla dowolnych <math>\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in V</math> zachodzi <math>\mathbf u \boldsymbol + (\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = (\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v) \boldsymbol + \mathbf w.</math>.

#: Dla dowolnych <math>\mathbf v, \mathbf w \in V</math> jest <math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \mathbf w \boldsymbol + \mathbf v.</math>.

#: Istnieje taki element <math>\boldsymbol 0 \in V,</math>, nazywany [[wektor zerowy|wektorem zerowym]], że <math>\mathbf v \boldsymbol + \boldsymbol 0 = \mathbf v</math> dla dowolnego <math>\mathbf v \in V.</math>.

#: Dla każdego <math>\mathbf v \in V</math> istnieje element <math>\mathbf w \in V,</math>, nazywany [[wektor przeciwny|wektorem przeciwnym]] do <math>\mathbf v,</math>, taki, że <math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w = \boldsymbol 0.</math>.

#: Dla każdego <math>a \in K</math> oraz <math>\mathbf v, \mathbf w \in V</math> jest <math>a(\mathbf v \boldsymbol + \mathbf w) = a\mathbf v \boldsymbol + a\mathbf w.</math>.

#: Dla każdych <math>a, b \in K</math> oraz <math>\mathbf v \in V</math> zachodzi <math>(a + b)\mathbf v = a\mathbf v \boldsymbol + b\mathbf v.</math>.

#: Dla dowolnych <math>a, b \in K</math> oraz <math>\mathbf v \in V</math> jest <math>a(b\mathbf v) = (a \cdot b)\mathbf v.</math>.

#: Dla dowolnego <math>\mathbf v \in V</math> jest <math>1\mathbf v = \mathbf v,</math>, gdzie <math>1</math> oznacza element neutralny mnożenia w <math>K.</math>.

Formalnie '''przestrzeń liniowa nad ciałem''' <math>K</math> jest [[struktura matematyczna|strukturą matematyczną]] <math>(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot),</math>, w której:

Siódmy aksjomat nie opisuje [[łączność (matematyka)|łączności]], gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, <math>b\mathbf v,</math>, oraz mnożenie skalarów (z ciała), <math>a \cdot b.</math>.

#: jeżeli <math>\mathbf u, \mathbf v \in V,</math>, to <math>\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in V.</math>.

#: jeżeli <math>a \in K, \mathbf v \in V,</math>, to <math>a\mathbf v \in V.</math>.

Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o [[Funkcja#Definicja|przeciwdziedzinie]] <math>V,</math>, co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów. Aksjomaty domkniętości są niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej [[#Podprzestrzeń liniowa i baza|podprzestrzenią]].

Wyrażenia postaci „<math>\mathbf v a</math>”, gdzie <math>\mathbf v \in V</math> oraz <math>a \in K,</math>, ściśle rzecz ujmując są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „<math>a\mathbf v</math>” oraz „<math>\mathbf v a</math>” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa <math>V</math> jest [[algebra nad ciałem|algebrą nad ciałem]] <math>K,</math>, to dla <math>\mathbf v \in V, \mathbf w \in V</math> oraz <math>a \in K</math> zachodzi <math>a \mathbf v \mathbf w = \mathbf v a \mathbf w,</math>, co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „<math>a\mathbf v</math>” i „<math>\mathbf v a</math>” jako reprezentacji tego samego wektora.

*: jeżeli <math>\boldsymbol 0_1, \boldsymbol 0_2</math> są zerami w <math>V</math> takimi, że <math>\boldsymbol 0_1 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v</math> oraz <math>\boldsymbol 0_2 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v,</math>, to <math>\boldsymbol 0_1 = \boldsymbol 0_2 = \boldsymbol 0,</math>,

*: dla dowolnego <math>a \in K</math> jest <math>a\boldsymbol 0 = \boldsymbol 0,</math>,

*: dla każdego <math>\mathbf v \in V</math> zachodzi <math>0\mathbf v = \boldsymbol 0,</math>, gdzie <math>0</math> jest elementem neutralnym dodawania w <math>K,</math>,

*: <math>a\mathbf v = \boldsymbol 0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>a = 0</math> lub <math>\mathbf v = \boldsymbol 0,</math>,

*: niech <math>\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}</math> będą odwrotnościami <math>\mathbf v \in V</math> takimi, że <math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_1} = \boldsymbol 0</math> oraz <math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_2} = \boldsymbol 0,</math>, wówczas <math>\mathbf{w_1} = \mathbf{w_2}.</math>. Wektor <math>\boldsymbol-\mathbf v</math> nazywamy przeciwnym do <math>\mathbf v</math> i definiujemy odejmowanie jako <math>\mathbf u \boldsymbol - \mathbf v \equiv \mathbf u \boldsymbol + (\boldsymbol -\mathbf v),</math>,

*: dla każdego <math>\mathbf v \in V</math> mamy <math>(-1)\mathbf v = \boldsymbol-\mathbf v,</math>, gdzie <math>1</math> oznacza element odwrotny względem mnożenia w <math>K.</math>.

*: dla każdego <math>a \in K</math> oraz <math>\mathbf v \in V</math> zachodzi <math>(-a)\mathbf v = a(\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a\mathbf v).</math>.

[[zbiór pusty|Niepusty]] [[podzbiór]] <math>W</math> przestrzeni liniowej <math>V</math> zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni. Równoważnie: podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). [[Część wspólna]] wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|powłoką (liniową)]] lub [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|otoczką (liniową)]]; mówi się również że zbiór ten rozpina pewną podprzestrzeń. Jeżeli żaden z wektorów nie może być z niej usunięty, to mówi się, że zbiór jest [[liniowa niezależność|liniowo niezależny]]. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina <math>V</math> nazywany jest bazą <math>V.</math>.

[[Felix Hausdorff]] udowodnił, na gruncie [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyki Zermela-Fraenkla]], że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na [[lemat Kuratowskiego-Zorna|lemacie Kuratowskiego-Zorna]]. Ze słabszego od aksjomatu wyboru [[Aksjomat wyboru#Słabsze formy|lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI)]] wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są [[moc zbioru|równoliczne]]. Jeśli <math>V</math> jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni <math>V</math> i oznacza <math>\dim V.</math>. Na przykład '''wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej''' <math>\mathbb R^3,</math>, czyli <math>\dim \mathbb R^3,</math>, wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru <math>\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}</math><ref group="uwaga">Wektory te są liniowo niezależne.</ref>. Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych <math>V</math> oraz <math>W</math> nad tym samym ciałem <math>K</math> można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z <math>V</math> do <math>W.</math>. Są to funkcje <math>f\colon V \to W</math> zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z <math>V</math> do <math>W,</math>, oznaczany <math>\operatorname{Hom}_K(V, W),</math>, sam stanowi przestrzeń liniową nad <math>K.</math>. Jeżeli dane są bazy <math>V</math> i <math>W,</math>, przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą [[macierz]]y nazywanych [[macierz przekształcenia liniowego|macierzami przekształceń liniowych]].

[[Izomorfizm]] to przekształcenie liniowe <math>f\colon V \to W,</math>, które jest jednocześnie [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]] przestrzeni <math>V</math> na przestrzeń <math>W.</math>. Jeśli istnieje izomorfizm między <math>V</math> a <math>W,</math>, to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest [[Relacja równoważności|niezmiennikiem]] izomorfizmu: otóż jeśli <math>\{x_i\colon\; i \in I\}</math> jest bazą przestrzeni <math>V,</math>, to <math>\{f(x_i)\colon\; i \in I\}</math> jest bazą przestrzeni <math>W.</math>. Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie <math>n</math>-wymiarowe nad ciałem <math>K</math> są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych <math>K^n.</math>. Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy <math>V = W = \{\boldsymbol 0\}</math> lub gdy <math>V, W</math> są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są '''kanoniczne''' bądź '''naturalne'''. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących [[iloczyn tensorowy|iloczynami tensorowymi]] przestrzeni, odpowiednio <math>V</math> i <math>W</math> oraz <math>W</math> i <math>V,</math>, jest odwzorowanie <math>\mathbf v \otimes \mathbf w \mapsto \mathbf w \otimes \mathbf v</math> dla <math>\mathbf v \in V,\; \mathbf w \in W.</math>.

Jeśli <math>V, W</math> są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem <math>K,</math>, to w [[iloczyn kartezjański|iloczynie kartezjańskim]] <math>V \times W</math> można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:

: <math>(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) \oplus (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) = (\mathbf{v_1} \boldsymbol + \mathbf{v_2}, \mathbf{w_1} \boldsymbol + \mathbf{w_2}),</math>,

: <math>a \odot (\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) = (a\mathbf{v_1}, a\mathbf{w_1}),</math>,

dla <math>(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}), (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) \in V \times W,\; a \in K.</math>.

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni <math>V_1, \dots, V_n.</math>.

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są [[moduł (matematyka)|modułami]] nad ustalonym ciałem <math>K.</math>. Dużą część [[algebra liniowa|algebry liniowej]] można uprawiać opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania <math>a\mathbf v</math> oraz <math>\mathbf v a</math> w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia <math>K\mboxtext{-}K</math> [[bimoduł]]u. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się [[moduł wolny|modułami wolnymi]].

: <math>\Theta\colon V^2 \to V, \; (\mathbf a, \mathbf b) \mapsto \mathbf a \boldsymbol - \mathbf b.</math>.

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], to znaczy przestrzeni liniowych<ref name="c" group="uwaga" /> wyposażonych w topologię<ref group="uwaga">Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy [[Aksjomaty oddzielania|aksjomat oddzielania]].</ref> zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe<ref group="uwaga">W sensie [[topologia produktowa|topologii produktowej]] odpowiednio w: <math>\scriptstyle{X\times X}</math> i <math>\scriptstyle{K\times X}.</math>.</ref>.