Geometria inwersyjna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
drobne techniczne
Linia 2:
'''Geometria inwersyjna''' – dział [[geometria|geometrii]] badający [[przekształcenie geometryczne|przekształcenia]] [[geometria euklidesowa|płaszczyzny euklidesowej]] (lub ogólniej: [[geometria afiniczna|afinicznej]]) nazywane ''[[inwersja (geometria)|inwersjami]]'' względem [[okrąg|okręgów]]; w szczególności za inwersje uważa się [[symetria osiowa|symetrie względem prostych]] traktowanych w tej geometrii jako szczególny rodzaj okręgów.
 
[[Przestrzeń afiniczna|Płaszczyznę afiniczną]] rozszerzoną o nienależący do niej punkt <math> \infty,</math> tzw. ''punkt niewłaściwy'' (''w nieskończoności'', ''nieskończenie daleki'', ''idealny''), który leży na dowolnej prostej, nazywa się '''płaszczyzną inwersyjną''' lub '''płaszczyzną Möbiusa'''. Choć jest ona dzięki temu podobna do [[geometria rzutowa|płaszczyzny rzutowej]] (w której do płaszczyzny afinicznej dodaje się całą prostą niewłaściwą), to jej cel jest inny – ujednolicenie sposobu traktowania prostych i okręgów na płaszczyźnie afinicznej (np. [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] lub [[liczby zespolone|zespolonej]]).
 
== Definicja ==
Płaszczyznę Möbiusa <math> M</math> można zdefiniować jako parę zbiorów <math> (P, C)</math> z relacją [[struktura incydencji|incydencji]] między nimi spełniającą cztery poniższe aksjomaty. Elementy zbiorów <math> P</math> i <math> C</math> nazywa się odpowiednio '''punktami''' oraz '''okręgami'''. Jeśli punkt <math> \mathrm p</math> i okrąg <math> c</math> są incydentne, to mówi się, że „<math> \mathrm p</math> leży na <math> c</math>” lub „ <math> c</math> przechodzi przez <math> \mathrm p</math>”. Przecięciem dwóch okręgów nazywa się zbiór punktów leżących na obu z nich. Wspomniane aksjomaty to:
* istnieją cztery punkty nieincydentne z żadnym okręgiem,
* dowolna trójka punktów leży na jednym i tylko jednym okręgu,
* każdy okrąg przechodzi przez co najmniej trzy punkty,
* dla dowolnego okręgu <math> c,</math> leżącego na nim punktu <math> \mathrm p</math> i nieleżącego na nim punktu <math> \mathrm q</math> istnieje jednoznacznie wyznaczony okrąg przechodzący przez te punkty, mający dokładnie jeden punkt przecięcia z <math> c.</math>
 
== Konstrukcje ==
Niech <math> \infty</math> będzie dowolnym punktem abstrakcyjnej płaszczyzny Möbiusa <math> M,</math> nazywanym dalej „punktem niewłaściwym”. Niech <math> A := \biglbig(P \setminus \{\infty\}, C_\infty\bigrbig),</math> gdzie <math> C_\infty</math> jest zbiorem wszystkich okręgów przechodzących przez <math> \infty.</math> Wówczas <math> A</math> jest płaszczyzną afiniczną, w której prosta jest zbiorem punktów właściwych (tzn. nie niewłaściwych) na okręgu przechodzącym przez <math> \infty.</math>
 
W przypadku [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] lub [[liczby zespolone|zespolonej]] płaszczyzny afinicznej <math> A</math> [[okrąg]] <math> c(\mathrm o, r),</math> gdzie <math> \mathrm o = (a, b),</math> jest zbiorem rozwiązań <math> (x, y)</math> [[równanie kwadratowe|równania kwadratowego]] <math> (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.</math> Okrąg można określić za pomocą trzech punktów, zaś [[prosta]] wyznaczona jest przez dwa. Dodawszy punkt <math> \infty</math> do płaszczyzny afinicznej <math> A,</math> który leży na każdej prostej, rozszerzone o niego proste można nazywać „okręgami” (obok okręgów afinicznych). Dlatego geometrię takiej płaszczyzny nazywa się płaszczyzną Möbiusa.
 
Odwrotnie, usuwając z rzeczywistej bądź zespolonej płaszczyzny Möbiusa <math> M</math> dowolny punkt <math> \mathrm p</math> otrzymuje się (rzeczywistą bądź zespoloną) płaszczyznę afiniczną z jego strukturą okręgów. Proste afiniczne to okręgi <math> M</math> przechodzące przez <math> \mathrm p</math> (z usuniętym tym punktem), a okręgi afiniczne to pozostałe okręgi <math> M.</math> Wszystkie takie płaszczyzny są izomorficzne jako struktury incydencji.
 
Rzeczywista płaszczyzna Möbiusa to jeszcze jeden sposób patrzenia na [[sfera Riemanna|sferę Riemanna]]. Niech sfera Riemanna (pomijając jej strukturę zespoloną) leży na podprzestrzeni <math> \mathbb R^2,</math> tak by była styczna w początku płaszczyzny pewnym jej punktem, „biegunem południowym”. Okręgi przechodzące przez „biegun północny” ([[antypody]]czny względem bieguna południowego) odpowiadają w [[rzut stereograficzny|rzucie stereograficznym]] prostym, zaś pozostałe okręgi – okręgom na płaszczyźnie. Po rozszerzeniu <math> \mathbb R^2</math> o punkt niewłaściwy, biegun północny będzie odpowiadać punktowi niewłaściwemu czyniąc ze sfery model rzeczywistej płaszczyzny Möbiusa.
 
Nie każda płaszczyzna Möbiusa musi być rzeczywista lub zespolona – okręgi można zdefiniować w płaszczyźnie afinicznej nad dowolnym [[ciało (matematyka)|ciałem]], przy czym konstrukcja płaszczyzny Möbiusa ma analogiczną postać.
Linia 26:
Niżej okręgi przestrzeni inwersyjnej nazywane będą „okręgami uogólnionymi”, z kolei okręgi afiniczne nazywane będą po prostu „okręgami”. Inwersje nie są jedynymi przekształceniami płaszczyzny inwersyjnej, które zachowują uogólnione okręgi.
 
Jeśli <math> \infty</math> jest [[punkt stały|punktem stałym]] danego przekształcenia <math> T,</math> to punkt <math> \infty</math> należy do dowolnej prostej <math> l.</math> Ponieważ <math> \infty = T(\infty)</math> należy do <math> T(l),</math> to przekształcenie <math> T</math> przekształca proste w proste (jest [[kolineacja|kolineacją]]), zatem musi być [[przekształcenie afiniczne|przekształceniem afinicznym]]. Z tego powodu <math> T</math> można przedstawić jako złożenie [[podobieństwo|podobieństwa]] i [[powinowactwo osiowe|powinowactwa osiowego]]. Ponieważ nieizometryczne powinowactwo osiowe nie zachowuje [[okrąg|okręgów]] (przekształca je na [[elipsa|elipsy]]), to przekształcenie <math> T</math> zachowujące okręgi uogólnione (proste i okręgi afiniczne) musi być podobieństwem.
 
Jeżeli <math> \infty</math> nie jest punktem stałym w przekształceniu <math> T,</math> to istnieje punkt <math> \mathrm o,</math> dla którego <math> T(\mathrm o) = \infty.</math> Niech <math>i_1</math> oznacza inwersję względem [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowego]] o środku <math> \mathrm o,</math> wtedy <math> Ti_1(\infty) = T(\mathrm o) = \infty,</math> co na mocy powyższego rozumowania oznacza, że <math> Ti_1</math> jest podobieństwem. Podobieństwo to można przedstawić jako złożenie [[izometria|izometrii]] oraz [[jednokładność|jednokładności]] o środku <math> \mathrm o</math> i skali <math> k^2,</math> którą można z kolei zapisać jako złożenie dwóch inwersji względem okręgów o wspólnym środku <math> \mathrm o</math> o promieniach <math> 1</math> oraz <math> k.</math> Niech <math>i_k</math> oznacza inwersję względem okręgu o promieniu <math> k,</math> zaś <math> I</math> będzie pewną izometrią. Wówczas <math> Ti_1 = I i_k i_1,</math> czyli <math> T = I i_k.</math>
 
Oznacza to, że przekształcenia zachowujące okręgi uogólnione są podobieństwami lub złożeniami izometrii z inwersją. Jeśli takie przekształcenie jest nieizometrycznym podobieństwem (tzn. mającym jeden punkt stały), to można je opisać jako złożenie jednokładności i [[symetria osiowa|symetrii osiowej]] bądź [[obrót|obrotu]]; jednokładność można rozłożyć na złożenie dwóch inwersji, zaś obrót można zapisać jako złożenie dwóch symetrii osiowych. Jeżeli wspomniane przekształcenie jest złożeniem izometrii i inwersji, to każdą izometrię można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Stąd każde przekształcenie zachowujące okręgi uogólnione jest złożeniem co najwyżej czterech ''symetrii uogólnionych'' (tzn. symetrii osiowych lub inwersji).
 
== Linki zewnętrzne ==
* Michiel Hazewinkel (red.) [http://eom.springer.de/default.htm Encyclopaedia of Mathematics], artykuł [http://eom.springer.de/m/m064290.htm Möbius„Möbius planeplane”]. Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York. {{ISBN|1-4020-0609-8}}.
 
[[Kategoria:Geometria inwersyjna|* ]]