Granica funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
m drobne poprawki i dodatki |
||
Linia 1:
'''Granica funkcji''' – wartość, do której [[Obraz i przeciwobraz|obrazy]] danej [[Funkcja|funkcji]] zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez [[Augustin Louis Cauchy|Augustina Louisa Cauchy’ego]] oraz [[Heinrich Eduard Heine|Heinricha Eduarda Heinego]].
__TOC__
<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
<div style="width:240px; font-family:arial; font-size:12px; font-weight:bold; background:#fff;">
{| class="wikitable" style="width:100%;"
|-
!''n''!!''n'' sin(1/''n'')
|-
|1||0.841471
|-
|2||0.958851
|-
|colspan="2"|...
|-
|10||0.998334
|-
|colspan="2"|...
|-
|100||0.999983
|}
</div>
<div class="thumbcaption">
Dodatnia liczba całkowita <math>n</math> staje się coraz większa, wartość <math>n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg)</math> staje się coraz bliższa <math>1</math>. Mówimy, że granica<math>n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg)</math> jest równa <math>1</math>.
</div>
</div>
</div>
== Historia ==
Pojęcie to znane było intuicyjnie już w [[starożytność|starożytności]]. Stosowano je wówczas do obliczania [[pole powierzchni|pól]] [[figura geometryczna|figur geometrycznych]] za pomocą tzw. [[Metoda wyczerpywania|metody wyczerpywania]], która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną [[ciąg (matematyka)|ciągu]] figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako [[całka oznaczona]], np. [[Całka Lebesgue’a|Lebesgue’a]]). [[Łacina|Łaciński]] termin oznaczający granicę, ''„limes”'', pojawił się w [[XVII wiek]]u w pracach [[Isaac Newton|Newtona]] oraz [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniza]] w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.
Linia 20 ⟶ 45:
: <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=g,</math>
co czytamy: granicą funkcji <math>f</math> dla <math>x</math> dążącego do <math>x_0</math> jest liczba <math>g.</math>
[[Plik:Upper semi.svg|mały|x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup> . Dlatego granica jako x → x<sub>0</sub> nie istnieje.]]
=== Granica jednostronna ===
Linia 33 ⟶ 59:
=== Granica niewłaściwa ===
{{Zobacz też|Granica niewłaściwa funkcji||bez kropki=}}
Funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> '''granicę niewłaściwą''' <math>+\infty,</math> co zapisuje się
: <math>f(x) \to +\infty</math> przy <math>x\to x_0</math>
| |||