Przestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Dodatkowe struktury: Redakcja w stylu encyklopedycznym |
|||
Linia 236:
Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni <math>V_1, \dots, V_n.</math>
== Uogólnienia ==▼
Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są [[moduł (matematyka)|modułami]] nad ustalonym ciałem <math>K.</math> Dużą część [[algebra liniowa|algebry liniowej]] można uprawiać opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania <math>a\mathbf v</math> oraz <math>\mathbf v a</math> w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia <math>K\text{-}K</math> [[bimoduł]]u. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się [[moduł wolny|modułami wolnymi]].▼
Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób [[funkcja ciągła|ciągły]] za pomocą związanej z nią [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] nazywa się [[wiązka wektorowa|wiązką wektorową]].▼
[[Przestrzeń afiniczna]] jest zbiorem z [[Działanie grupy na zbiorze|przechodnim działaniem]] przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne▼
: <math>\Theta\colon V^2 \to V, \; (\mathbf a, \mathbf b) \mapsto \mathbf a \boldsymbol - \mathbf b.</math>▼
== Dodatkowe struktury ==
Linia 262 ⟶ 254:
==== Przestrzenie liniowo-topologiczne ====
Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię<ref group="uwaga">Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy [[Aksjomaty oddzielania|aksjomat oddzielania]].</ref> zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe<ref group="uwaga">W sensie [[
Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule [[Przestrzeń liniowo-topologiczna#Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych|przestrzenie liniowo-topologiczne]]. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie [[Ciąg (matematyka)|zbieżności]] (za pomocą [[przestrzeń topologiczna|topologii]], [[przestrzeń metryczna|metryki]], [[przestrzeń unormowana|normy]]), oraz rozważa się sumę [[zbiór skończony|nieskończonej]] liczby wektorów (tzw. [[szereg (matematyka)|szeregi]]).
Linia 271 ⟶ 263:
==== Uporządkowana przestrzeń liniowa ====
Uporządkowana przestrzenią liniową - to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni [[częściowy porządek|porządkiem częściowym]] wektorów.
▲== Uogólnienia ==
▲Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są [[moduł (matematyka)|modułami]] nad ustalonym ciałem <math>K.</math> Dużą część [[algebra liniowa|algebry liniowej]] można uprawiać opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania <math>a\mathbf v</math> oraz <math>\mathbf v a</math> w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia <math>K\text{-}K</math> [[bimoduł]]u. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się [[moduł wolny|modułami wolnymi]].
▲Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób [[funkcja ciągła|ciągły]] za pomocą związanej z nią [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] nazywa się [[wiązka wektorowa|wiązką wektorową]].
▲[[Przestrzeń afiniczna]] jest zbiorem z [[Działanie grupy na zbiorze|przechodnim działaniem]] przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne
▲: <math>\Theta\colon V^2 \to V, \; (\mathbf a, \mathbf b) \mapsto \mathbf a \boldsymbol - \mathbf b.</math>
== Alternatywny zestaw aksjomatów ==
| |||