Otwórz menu główne

Zmiany

m
Zastępowanie przestarzałej składni LaTeX zgodnie z mw:Extension:Math/Roadmap
:Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
: Dla każdego zbioru <math>b</math> istnieje zbiór <math>a</math>, złożony z tych i tylko tych elementów <math>x</math> zbioru <math>b</math>, które mają własność <math>\varphi</math>:
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall b\; \exist a\; \forall x\; \bigg(x \in a \Leftrightarrow \Big(x \in b \andland \varphi(x, b, p_1, \dots , p_n)\Big) \bigg) </math>
: Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.
 
{{Główny artykuł|Aksjomat pary}}
: Dla dowolnych zbiorów <math>a</math> i <math>b</math> istnieje zbiór <math>c</math>, którego elementami są dokładnie zbiory <math>a</math> oraz <math>b</math>:
:: <math>\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \orlor x = b)\Big)</math>
 
===Aksjomat sumy===
{{Główny artykuł|Aksjomat sumy}}
: Dla dowolnej [[Rodzina zbiorów|rodziny zbiorów]] <math>r</math> istnieje zbiór <math>u</math>, do którego należą dokładnie te elementy <math>x</math>, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny <math>r</math>:
:: <math>\forall r\; \exist u\; \forall x\; \Big(x \in u \Leftrightarrow \exist a\; (x \in a \andland a \in r)\Big)</math>
 
===Aksjomat zbioru potęgowego===
{{Główny artykuł|Aksjomat nieskończoności}}
: Istnieje [[zbiór induktywny]]:
:: <math>\exist x\; \Bigg(\exist a\; \Big(a \in x \andland \forall b\; \neg(b \in a)\Big)</math>
::: <math>\andland \forall c \bigg( c\in x\Rightarrow \exist d\; \Big(d \in x \andland \forall e\; \big(e \in d \Leftrightarrow (e \in c \orlor e = c)\big)\Big)\bigg)\Bigg)</math>
: Istnieje wiele takich zbiorów.
:[[Część wspólna]] wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]].
: <math>\forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\in X\; \Big(\Theta(x,y)\Big)\bigg)</math>
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall X\; \Bigg(\forall x\; \exist! y\; \Theta(x, y, X, p_1, \dots , p_n)</math>
::: <math>\Rightarrow \exist Y\; \forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\; \Big(x \in X \andland \Theta(x, y, X, p_1, \dots, p_n) \Big)\bigg)\Bigg)</math>
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math>
 
:Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
: Każdy niepusty zbiór <math>x</math> ma element rozłączny z <math>x</math>:
:: <math>\forall x\; \Bigg(x \neq \emptyset \Rightarrow \exist y\; \bigg(y \in x \andland \neg\Big(\exist z\; (z \in x \andland z \in y)\Big)\bigg)\Bigg)</math>
: Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.
 
: Dla dowolnej rodziny <math>r</math> zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor <math>s</math> (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
:: <math>\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)</math>
::: <math>\andland \forall a\; \forall b\; \bigg(\Big(a \in r \andland b \in r \andland a \neq b\Big) \Rightarrow \neg\Big(\exist x\; (x \in a \andland x\in b)\Big)\bigg)</math>
::: <math>\Rightarrow \exist s\; \forall a\; \Big(a \in r \Rightarrow \exist! y\; (y \in s \andland y \in a)\Big)\Bigg)</math>
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math>