Funkcjonał: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Uproszczenie i ukonkretnienie definicji. Znaczniki: VisualEditor Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) |
|||
Linia 1:
'''Funkcjonał''' ('''forma''') – [[funkcja|przekształcenie]] z [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni wektorowej]] w [[Ciało (matematyka)|ciało]] skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń: wektorom przyporzadkowuje [[Skalar (matematyka)|skalary]]
Funkcjonał w takim wypadku jest szczególnym przypadkiem '''[[Operator (fizyka)|operatora]]''', czyli przekształcenia, które funkcji przyporządkowuje inną funkcję (np. operator różniczkowy funkcji przypisuje jej funkcję pochodną).
Linia 11:
: <math>x_0\mapsto f(x_0)</math>
przekształca [[Argument (matematyka)|argument]] <math>x_0</math> na wartość funkcji <math>f</math> punkcie <math>x_0.</math>
(2) Możliwe jest przyporządkowanie danej funkcji
: <math>f, x_0\mapsto g(x_0).</math>▼
Jeśli <math>f</math> jest [[Przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie <math>f, x_0\mapsto g(x_0)</math> wyznaczone przez dany argument
▲:<math>f, x_0\mapsto g(x_0)</math>
▲Jeśli <math>f</math> jest [[Przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń, to przekształcenie <math>f, x_0\mapsto g(x_0)</math> wyznaczone przez dany argument <math>x_0</math>odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym pomiędzy argumentem a funkcją; funkcję g nazywa się wtedy dualną do funkcji <math>f</math> i obydwie funkcje są [[Forma liniowa|funcjonałami liniowymi]].
=== Całka oznaczona ===
{{Osobny artykuł | Całka oznaczona}}
Całki postaci
: <math>f\mapsto I[f]=\int_a^b H(f(x),f'(x),\
gdzie:
Linia 31 ⟶ 30:
W szczególności należą do tej klasy:
* pole pod wykresem nieujemnej funkcji <math>f</math>
* [[Norma (matematyka)|p-ta norma]] funkcji całkowalnej
:: <math>f\mapsto \|f\|_p=\left(\int_a^b|f(x)|^p \; \mathrm{d}x\right)^{1/p},</math>
▲::<math>f\mapsto ||f||_p=\left(\int_a^b|f(x)|^p \; \mathrm{d}x\right)^{1/p}</math>
* [[Długość łuku|długość krzywej]] na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]]
▲L(f)=\int_{a}^{b} \sqrt{ 1+|f'(x)|^2 } \; \mathrm{d}x</math>
=== Iloczyn skalarny ===
Linia 49 ⟶ 45:
== Równanie funkcyjne ==
{{osobny artykuł|Równanie funkcyjne}}
Rozwiązaniami równania funkcyjnego postaci <math>F = G</math> są funkcje, dla których wartości funkcjonałów <math>F</math> i <math>G</math> są równe. Na przykład funkcja jest [[Funkcja addytywna|addytywna]], jeśli spełnia równanie funkcyjne:
: <math>f\left(x+y\right) = f(x) + f(y).</math>
Linia 60 ⟶ 56:
W literaturze matematycznej istnieje spora niekonsekwencja w użyciu terminów ''forma'' i ''funkcjonał:''
('''1''') [[Bolesław Gleichgewicht|Gleichgewicht]]<ref>Bolesław Gleichgewicht: ''Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s.
:: [...] napiszemy wzór (10.1) w postaci
::: <math>f(x)=\alpha_1\xi_1+\alpha_2\xi_2+\ldots+\alpha_n\xi_n</math>
:: zwanej ''formą liniową'', [...]
a potem
:: (10.4) <math>\varphi(x,y)=\sum_{i,j=1}^n\alpha_{ij}\xi_i\eta_j.</math>
:: [...] Prawa strona wyrażenia (10.4) nazywa się ''formą dwuliniową''.
Należy też zwrócić uwagę, że same przekształcenia w ciało (np. <math>f,\varphi</math> powyżej) są konsekwentnie określane jako ''funkcjonały''.
('''2''') Lang<ref>Serge Lang: ''Algebra''. Tłumaczenie: Ryszard Bittner. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973.</ref> używa określenia ''funkcjonał'' na odwzorowania liniowe z przestrzeni wektorowej <math>V</math> (nad ciałem <math>K</math>) w ciało <math>K.</math> Słowo ''forma'' jest używane tu dla odwzorowań wieloliniowych oraz kwadratowych (tzn. mówi się w tej książce o ''formach wieloliniowych'', ''formach kwadratowych'' itd.).
* Natomiast Komorowski<ref>Jacek Komorowski: ''Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 68.</ref> używa jedynie określenia ''forma'', pisząc
:: Elementy przestrzeni <math>V^*</math> nazywamy ''formami liniowymi'' na <math>V;</math> często, kiedy nie prowadzi to do nieporozumień, formy liniowe nazywa się krótko ''formami''.
W kolejnym rozdziale Komorowski wprowadza następującą definicję:
:: Elementy p.w. <math>L(V_1,\
('''3''') Musielak<ref>Julian Musielak: ''Wstęp do analizy funkcjonalnej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 120.</ref> pisze
:: [...] operator liniowy <math>T\colon X\longrightarrow {\mathbf K}</math> nazywamy ''funkcjonałem liniowym'' lub ''formą liniową''.
Linia 90 ⟶ 83:
* [[Teoria dystrybucji|dystrybucja]]
* [[forma liniowa]]
* [[forma półtoraliniowa]]
* [[forma dwuliniowa]]
* [[forma kwadratowa]]
* [[przestrzeń funkcyjna]]
* [[przestrzeń liniowa]]
| |||