Hipersfera: Różnice pomiędzy wersjami

Dla dowolnej liczby naturalnej <math>n,</math> hipersfera o promieniu <math>r</math> jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej <math>(''n''+1)</math>-wymiarowej, które znajdują się w odległości <math>r</math> od wybranego punktu środkowego <math>c,</math> gdzie <math>r</math> jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a <math>c</math> to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni <math>(''n''+1)</math>-wymiarowej.

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w <math>(''n''+1)</math>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności:

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy '''hipersferą jednostkową''', oznaczaną <math>S^n.</math> Często terminem ''hipersfera'' określa się właśnie ''hipersferę jednostkową''. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg [[kula|kuli]] <math>(''n''+1)</math>-wymiarowej. Dla <math>n\ge 2,</math> hipersfery są [[przestrzeń jednospójna|rozmaitościami jednospójnymi]] o stałej dodatniej krzywiźnie.

Zbiór punktów w przestrzeni <math>(''n''+1)</math>-wymiarowej <math>(x_1, x_2, \ldotsdots, x_{n+1}),</math> który tworzy hipersferę opisuje równanie

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy <math>(''n''+1)</math>-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest [[zbiór domknięty|domknięta]] jeśli zawiera hipersferę, lub [[zbiór otwarty|otwarta]] jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

Ogólny wzór na ''objętość'', a ściślej [[miara Lebesgue’a]] obszaru ograniczanego przez hipersferę <math>(''n''–1-1)</math>-wymiarową o promieniu <math>R,</math> który jest [[hiperkula|hiperkulą]] <math>n</math>-wymiarową, ma postać:

: <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{1 \cdot 3 \cdot \dotsldots \cdot (2k+1)} = \frac{2^{k+1} \pi^k}{(2k+1)!!}.</math>

| style="text-align:left"| Punktpunkt

| style="text-align:left"| Długośćdługość odcinka

| style="text-align:left"| Polepole koła

| style="text-align:left"| Objętośćobjętość kuli

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów <math>n&nbsp;&gt;&nbsp;>5,</math> rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

Ogólny wzór na ''powierzchnię'' hipersfery <math>(''n''–1-1)</math>-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli <math>n</math>-wymiarowej względem promienia

\displaystyle 0 & \mboxtext{dla }n=0, \\[2ex]

\displaystyle \frac{n\pi^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})} & \mboxtext{dla }n > 0

| -1–1

| style="text-align:left"| Liczbaliczba punktów tworzących sferę

| style="text-align:left"| Długośćdługość okręgu

| style="text-align:left"| Powierzchniapowierzchnia kuli

| grafika1=Sphere area in n dimensions.svg | szerokość1=200 | opis1=''Powierzchnia'' jednostkowej sfery <math>(''x''–1-1)</math>-wymiarowej

| grafika2=Ball volume in n dimensions.svg | szerokość2=200 | opis2=''Objętość'' jednostkowej kuli ''<math>x''</math>-wymiarowej

| tytuł=Obszar w przestrzeni ''<math>x''</math>-wymiarowej jako funkcja ciągła&nbsp;'' <math>x''</math>

Analogicznie do [[układ współrzędnych sferycznych|współrzędnych sferycznych]] w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni <math>n</math>-wymiarowej, w których składowymi są promień <math>r</math> i <math>(n-1)</math> współrzędnych kątowych <math>\phi_1 , \phi_2 , \dots , \phi_{n-1},</math> gdzie <math>\phi_{n-1}</math> zawiera się w przedziale <math>[0, 2 \pi),</math> a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale <math>[0, \pi].</math>

* {{MathWorld | tytuł = Hypersphere | adres = Hypersphere}}