Macierz transponowana: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Dodano bibliografię
Linia 1:
{{Macierz}}
 
'''Macierz transponowana''' ('''przestawiona''') macierzy <math>A\ </math> to macierz <math>A^T\ ,</math>, która powstaje z danej poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze<ref>{{Cytuj |autor = kjell at ieee dot org |tytuł = Transpose |data dostępu = 2018-03-17 |opublikowany = chortle.ccsu.edu |url = https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_14.html |język = en}}</ref>. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywamy '''transpozycją''' ('''przestawianiem''').
 
Dla macierzy <math>A=(a_{ij})\ {:}</math>:
:: <math>A^T = (a_{ij})^T = (a_{ji})\ .</math>.
 
: <math>A^T = (a_{ij})^T = (a_{ji})\ </math>.
Albo ściślej. Oznaczamy przez <math>A_{ij}</math> element macierzy <math>A</math> znajdujący się na przecięciu <math>i</math>-tego wiersza i <math>j</math>-tej kolumny. Wtedy macierz transponowaną definiujemy jako
:: <math>(A^T)_{ij} := A_{ji}\ .</math>
 
<math>(A^T)_{ij} := A_{ji}\ .</math>
 
== Przykład ==
Dla macierzy:
:: <math>A=\begin{bmatrix}
 
: <math>A=\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 & 4\\
-1 & 2 & 0 & 1\\
Linia 20 ⟶ 18:
 
macierzą transponowaną jest:
:: <math>A^T=\begin{bmatrix}
 
: <math>A^T=\begin{bmatrix}
2 & -1 & 2\\
3 & 2 & 2\\
1 & 0 & 0\\
4 & 1 & 1
\end{bmatrix}.</math>.
 
[[macierz kwadratowaMacierz|Macierz kwadratową]] nazywamy [[macierz symetryczna|symetryczną]], jeżeli jest równa swojej transpozycji<ref>{{Cytuj |autor = kjell at ieee dot org |tytuł = Symmetric |data dostępu = 2018-03-17 |opublikowany = chortle.ccsu.edu |url = https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_16.html |język = en}}</ref> oznacza to po prostu, że macierz jest symetryczna względem swojej [[przekątna główna macierzyMacierz|przekątnej głównej]].
 
== Własności operacji transponowania ==
Niech <math>A, B \in M_{n \times m}(K),</math>, wówczas:
* <math>(A^T)^T = A \,</math><ref>{{Cytuj |autor = kjell at ieee dot org |tytuł = A Rule for Transpose |data dostępu = 2018-03-17 |opublikowany = chortle.ccsu.edu |url = https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_15.html |język = en}}</ref>,
* <math>(A +\alpha BA)^T = \alpha A^T,\quad + B^T\alpha \in K,</math>,
* <math>(A + B)^T = BA^T A+ B^T,</math>.
 
jeśli <math>A \in M_{n \times m}(K),\ \ B \in M_{m \times o}(K),</math>, to:
* <math>(A^T)^T = A \,</math><ref>{{Cytuj |autor = kjell at ieee dot org |tytuł = A Rule for Transpose |data dostępu = 2018-03-17 |opublikowany = chortle.ccsu.edu |url = https://chortle.ccsu.edu/VectorLessons/vmch13/vmch13_15.html |język = en}}</ref>,
* <math>(\alphaA AB)^T = \alphaB^T A^T,\quad \alpha \in K.</math>,
* <math>(A + B)^T = A^T + B^T \,</math>,
jeśli <math>A \in M_{n \times m}(K),\ \ B \in M_{m \times o}(K)</math>, to:
* <math>(A B)^T = B^T A^T</math>.
 
Ponadto transpozycja nie wpływa na [[Wyznacznik|wyznacznik macierzy]] ani [[Ślad (algebra liniowa)|ślad macierzy]] kwadratowej:
* <math>\det A^T = \det A \,</math>,
* <math>\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A).</math>.
 
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
* [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|sprzężenie hermitowskie]]
 
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
<references />
 
== Bibliografia ==
* H. Guściora, M. Sadowski, ''Repetytorium z algebry liniowej'', PWN, Warszawa 1979 r.
 
* H. Guściora, M. Sadowski, ''Repetytorium z algebry liniowej'', PWN, Warszawa 1979 r.
 
[[Kategoria:Macierze|Transponowana]]