Chaos (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

{{dopracować|źródła=2013-05 }}

[[Plik:Lorenz attractor yb.svg|thumb|[[Układ Lorenza|Atraktor Lorenza]] dla parametrów ρ=28, σ = 10, β = 8/3]]

Dalsze badania nad układami dynamicznymi doprowadziły do wniosku, iż wbrew powszechnym przekonaniom w nauce, niewielkie zaburzenie warunków początkowych powoduje rosnące [[funkcja wykładnicza|wykładniczo]] z czasem zmiany w zachowaniu układu. Popularnie nazywane jest to [[Efekt motyla|efektem motyla]] -– znikoma różnica na jakimś etapie może po dłuższym czasie urosnąć do dowolnie dużych rozmiarów. Powoduje to, że choć model jest [[determinizm|deterministyczny]], w dłuższej skali czasowej wydaje się zachowywać w sposób [[losowość|losowy]].

Ścisłym kryterium chaotyczności jest określenie wartości [[wykładnik Lapunowa|wykładników Lapunowa]]. Układ jest chaotyczny, jeśli ma co najmniej jeden dodatni wykładnik Lapunowa. W takim wypadku w [[przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowej]] blisko leżące [[trajektoriaTor ruchu|trajektorie]] mogą po pewnym czasie dowolnie się od siebie oddalić (to oddalanie się "z czasem" różnych trajektorii obliczonych dla odmiennych wartości parametru leży w definicji chaotyczności względem tego parametru). Choć dla idealnie dokładnie zadanych parametrów początkowych jesteśmy w stanie dokładnie przewidzieć zachowanie się układu, w praktyce, gdzie warunki początkowe znane są zawsze ze skończoną dokładnością, w krótkim czasie układ staje się nieprzewidywalny.

Dowiedzenie, że dany, konkretny układ równań jest chaotyczny dla pewnych wartości parametrów modelu, jest na ogół procesem złożonym. Dlatego niewłaściwe jest nazywanie chaotycznym każdego układu przejawiającego skomplikowane zachowania. Przykładami układów mylnie nazywanych chaotycznymi są [[turbulencja|turbulencje]] i zachowanie [[giełda|giełdy]]. Nie udowodniono chaotyczności dla pełnego układu [[równanieDynamika Naviera-Stokesapłynów|równań Naviera-Stokesa]], a dla zachowania giełdy nie znamy nawet równań różnicowych czy różniczkowych, opisujących ją w zadowalający sposób. Tym samym nie potrafimy się wypowiedzieć o chaotyczności ich rozwiązań.

Atraktory w układach liniowych są zwykle punktami lub okręgami. W układach chaotycznych pojawiają się [[dziwny atraktor|dziwne atraktory]] – o bardzo złożonej budowie, często [[fraktal]]nej. Jednym z najsłynniejszych przykładów jest trójwymiarowy [[Układ Lorenza|atraktor Lorenza]], przypominający kształtem motyla.

Na początku XX wieku [[Henri Poincaré]] pokazał, że w [[problemProblem n- ciał|problemie n-ciał]] istnieją orbity, które są aperiodyczne, ale nie są zbieżne ani rozbieżne. Problem ten był badany w kolejnych latach przez wielu matematyków i fizyków. Efektem tych prac było pokazanie podobnego zachowania dla wielu układów, takich jak turbulentne przepływy i oscylacje w obwodach elektrycznych. Zbudowanie teorii opisującej te zjawiska wymagało jednak dopiero zastosowania symulacji komputerowych.

Pionierem teorii chaosu stał się [[Edward Lorenz (matematyk)|Edward Lorenz]], który w [[1961]] przeprowadzał numeryczne analizy zjawisk pogodowych. Symulowany przez niego układ opisywał własności ogrzewanej, prostokątnej komórki gazowej. Składał się z pięciu równań różniczkowych nieliniowych, będących ograniczoną wersją [[równanieDynamika Naviera-Stokesapłynów|równań Naviera-Stokesa]]. Lorenz, chcąc uprościć obliczenia przerwane błędem sprzętowym, zamiast przeprowadzać je od początku, rozpoczął kontynuację symulacji od wyników pośrednich uzyskanych przed momentem awarii. Jak zauważył pod koniec, otrzymane wyniki w znaczny sposób odbiegały od symulacji przeprowadzonych od początku do końca. Okazało się to skutkiem zaokrąglenia wprowadzanych ręcznie wyników. Równania okazały się zaskakująco czułe na niewielką zmianę warunków początkowych.

** proste modele układów populacyjnych, np. [[Równanie Lotki-Volterry|układ Lotka-Volterra]]

* {{SEP | url = chaos/ | autor = Robert Bishop | tytuł = Chaos | data = 2015-10-13 | data dostępu = 2018-01-02 }}