Moment pędu: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:Torque animation.gif|thumb|Zależności między [[siła|siłą]] '''<math>F''',</math> [[moment siły|momentem siły]] '''τ'''<math>\tau,</math> [[pęd (fizyka)|pędem]] '''<math>p'''</math> oraz momentem pędu '''<math>L'''.</math>]]

'''Moment pędu''' [[punkt materialny|punktu materialnego]] o [[pęd (fizyka)|pędzie]] '''<math>p''',</math> którego położenie opisane jest [[wektor wodzący|wektorem wodzącym]] '''<math>r'''</math> względem danego [[układ odniesienia|układu odniesienia]] (wybranego [[punkt (geometria)|punktu]], zwykle [[początek (matematyka)|początku]] [[układ współrzędnych|układu współrzędnych]]), definiuje się jako [[wektor]] ([[pseudowektor]]) będący rezultatem [[iloczyn wektorowy|iloczynu wektorowego]] wektora położenia i pędu:

:: <math>\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p,</math>

:: <math>L = |\mathbf r \times \mathbf p| = |\mathbf r| |\mathbf p| \sin \theta,</math>

gdzie ''θ''<math>\theta</math> oznacza [[kąt]] między wektorami '''<math>r'''</math> i '''<math>p'''. </math>

Jednostką mometnumomentu pędu jest <math>\mathrm{\left[\frac{kg *\cdot m^2 \over }{s}\right] }.</math>

Dla ciała o [[moment bezwładności|momencie bezwładności]] ''<math>I''</math> obracającego się wokół ustalonej osi z [[prędkość kątowa|prędkością kątową]] '''''ω'''''<math>\omega</math> moment pędu można wyrazić wzorem:

:: <math>\mathbf L = I\boldsymbol \omega.</math>

''<math>i''</math>-tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem:

:: <math>\mathbf{L^i} = (\mathbf r \times \mathbf p)^\mathbf i = \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{r^j} \mathbf{p^k} = m \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{r^j} \mathbf{v^k},</math>

gdzie ''ε<submath>\epsilon_{ijk}</submath>'' jest [[symbol Leviego-Civity|symbolem Leviego-Civity]]. W [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] składowe momentu pędu komutują ze sobą (są antyprzemienne), przy czym [[komutator (matematyka)|komutatorem]] jest [[nawias Poissona]]

:: <math>\left[\mathbf{L^i}, \mathbf{L^j}\right] = \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{L^k}.</math>

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; ''zasada zachowania momentu pędu'' jest konsekwencją [[symetria obrotowa|symetrii obrotowej]] przestrzeni (zob. [[grupa obrotów]]), która zachowuje długość wektora (gdyż jest [[izometria|izometrią]]). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał ''<math>U''</math> zależy wyłącznie od odległości ''<math>r''.</math> Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się [[siła|siłą centralną]]. Dla tego rodzaju sił zachodzi:

:: <math>\Big[U(\mathbf r), \mathbf L\Big] = 0,</math>

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. [[grawitacja|potencjał grawitacyjny]] Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości ''<math>r''</math> ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej [[ekliptyka|płaszczyzną ekliptyki]].

:: <math>\hat L = \hat r \times \hat p,.</math>

:: <math>\hat r= r,</math>

:: <math>\hat p= -i \hbar \nabla,\quad{}</math> gdzie <math>\nabla</math> – [[operator nabla]].

= \hat r \times \hat p

\end{bmatrix}.</math>

\hat i \left( y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}\right) +

\hat j \left( z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z}\right) +

\hat k \left( x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}\right)\right].</math>

:: <math>\hat L = \left[ \hat L_x,\hat L_y,\hat L_z \right],</math>

:: <math>\hat L_1\equiv\hat L_x = -i\,\hbar \,\left[y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}\right],</math>

:: <math>\hat L_2\equiv\hat L_y = -i\,\hbar \,\left[z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z} \right],</math>

:: <math>\hat L_3\equiv \hat L_z = -i\,\hbar \,\left[x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}\right].</math>

:: <math>\left[\hat{L}_i, \hat{L}_j\right] = i\,\hbar \,\epsilon^{ijk} \hat{L}_k,</math> <math>i,j,k=1,2,3</math> lub <math>i,j,k=x,y,z,</math>

:: <math>\left[\hat{L}_x, \hat{L}_x\right] = 0,</math> <math>\left[\hat{L}_y, \hat{L}_y\right] = 0,</math> <math>\left[\hat{L}_z, \hat{L}_z\right] = 0,</math>

:: <math>\left[\hat{L}_x, \hat{L}_y\right] = i\,\hbar \,\hat{L}_z \ne 0,</math>

:: <math>\left[\hat{L}_y, \hat{L}_z\right] = i\,\hbar \,\hat{L}_x \ne 0,</math>

:: <math>\left[\hat{L}_z, \hat{L}_x\right] = i\,\hbar \,\hat{L}_y \ne 0.</math>

:: <math>\hat L^2 = (\hat{L}_x)^2+(\hat{L}_y)^2+(\hat{L}_z)^2.</math>

:: <math>\left[\hat{L}_i, \hat L^2\right] = 0.</math>

:: <math>\left[\hat{L}_i, H\right] = 0,</math>

toco oznacza, że dana składowa momentu pędu jest zachowywana. Podobnie, jeżeli komutator kwadratu operatora momentu pędu z [[Operator Hamiltona|operatorem Hamiltona]] <math>H</math> zeruje się, tj.

:: <math>\left[\hat L^2, H\right] = 0,</math>

toco oznacza, że całkowity momentu pędu jest zachowywany i możliwy jest jednoczesny pomiar energii i momentu pędu układu. Oczywiście, wynik ten zależy od tego, jaki układ rozpatruje się – od rodzaju układu i pól na układ działających zależy bowiem postać operatora Hamiltona.

:: <math>\hat L^2 = -\hbar^2 \Delta,</math>

:: <math>\Delta= \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}</math> – operator Laplace’a.

(a) wartości własne <math>L^2={\hbar}^2 l(l+1),</math> gdzie <math>l=0,1,\dots,</math>

:: <math>L=\hbar\sqrt{ l(l+1)}.</math>

* L.D. Landau, E.M. Lifszyc, ''Mechanika'', PWN, Warszawa 2011.