Miara Lebesgue’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Zastępowanie przestarzałej składni LaTeX zgodnie z mw:Extension:Math/Roadmap |
→Zbiory niemierzalne: int. |
||
Linia 84:
W [[1929]] wraz z [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowskim]] wykazał on, że przy założeniu [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] taka miara nie istnieje<ref>[[Stefan Banach]], [[Kazimierz Kuratowski]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1122.pdf Sur une généralisation du probleme de la mesure]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 14 (1929), s. 127–131.</ref>. Z drugiej strony, [[Stanisław Ulam]] udowodnił na gruncie teorii ZF z aksjomatem wyboru, że jeżeli istnieje [[liczba mierzalna|liczba rzeczywiście mierzalna]], to istnieje również przedłużenie miary Lebesgue’a do miary określonej na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej<ref name=Ulam>{{cytuj pismo |nazwisko =Ulam |imię =Stanisław|autor link=Stanisław Ulam|tytuł =Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm16114.pdf|czasopismo = [[Fundamenta Mathematicae]] |numer =16 |wydanie = |strony =140–150 |rok=1930}}</ref>. Rozszerzenie to nie jest niezmiennicze na przesunięcia (tzn. nie spełnia warunku 3.)
[[Robert M. Solovay]]<ref>[[Robert M. Solovay]]: ''Real-valued measurable cardinals''. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397–428.</ref> udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne [[pojęcie forsingu]] <math>\mathbb P</math> [[forsing|forsuje]] pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn. istnienie odpowiedniej miary). Ponadto wykazał on, że jeżeli teoria mnogości ZF jest [[niesprzeczność|niesprzeczna]], to ma ona [[struktura matematyczna|model]], w którym wszystkie podzbiory prostej są ''mierzalne w sensie Lebesgue’a''<ref name=Solovay>[[Robert M. Solovay|Solovay, Robert M.]] ''[http://www.jstor.org/stable/1970696 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable]''. „Annals of Mathematics” 92 (1970) s. 1–56.</ref>.
Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W [[1962]] polscy matematycy [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], [[Hugo Steinhaus]]: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.</ref> zaproponowali badania [[Aksjomat determinacji|aksjomatu determinacji]] (AD). Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], Stanisław Świerczkowski: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm54/fm5417.pdf On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]”. 54 (1964), s. 67–71.</ref> wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a.
| |||