Układ współrzędnych walcowych: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne, drobne techniczne
Poprawa artykułu na podstawie źródła
Linia 1:
{{Dopracować|źródła=2013-10 }}
[[Plik:Cylindrical coordinates.png|thumb|300px|Walcowy układ współrzędnych]]
'''Walcowy układ współrzędnych''' ('''cylindryczny układ współrzędnych''') – [[układ współrzędnych]] w trójwymiarowej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]. KażdyPosługiwanie punktsię <math>P</math>układem przestrzenicylindrycznym zapisujejest siękorzystne wgdy postacitrajektoria trójkiruchu współrzędnychma osiową <math>(\rho,\phi,zcylindryczną)\, symetrię</mathref name=":0">,{{Cytuj gdzie|autor poszczególne= składoweLucjan wyrażająJacak się|rozdział następująco:= Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych - kinematyka. |tytuł = Krótki wykład z fizyki ogólnej |data = 1994 |isbn = 83-7085-222-X |miejsce = Wrocław |wydawca = Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej |s = 10}}</ref>.
: <math>\rho\,</math> — odległość od osi <math>OZ</math> rzutu punktu <math>P\,</math> na płaszczyznę <math>OXY</math>,
: <math>\phi\,</math> — kąt pomiędzy osią dodatnią <math>OX</math> a odcinkiem łączącym rzut punktu <math>P</math> na płaszczyznę <math>OXY</math> z początkiem układu współrzędnych,
: <math>z\,</math> — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.
 
Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy [[Wersor|wersory]] <math>\hat{n}_\rho</math>, <math>\hat{n}_\phi</math>, <math>\hat{n}_z</math>, które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu <math>P\,</math><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Lucjan Jacak |rozdział = Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych - kinematyka. |tytuł = Krótki wykład z fizyki ogólnej |data = 1994 |isbn = 83-7085-222-X |miejsce = Wrocław |wydawca = Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej |s = 8}}</ref>. Każdy punkt <math>P</math> przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych <math>(\rho,\phi,z)\,</math>, gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco<ref name=":2">{{Cytuj |autor = Lucjan Jacak |rozdział = Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych - kinematyka. |tytuł = Krótki wykład z fizyki ogólnej |data = 1994 |isbn = 83-7085-222-X |miejsce = Wrocław |wydawca = Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej |s = 9}}</ref>:
[[Wektor wodzący]] układu walcowego <math>\bar{r}_{W} = \overline{OP}</math> łączy źródło pola z punktem <math>P\,</math>:
: <math>\bar{r}_{W} = \overline{OP} = [\rho, \phi, z]</math>
 
: <math>\rho\,</math> — promień cylindra przeprowadzonego przez punkt <math>P\,</math><ref name=":2" />,
== Związki pomiędzy współrzędnymi cylindrycznymi oraz kartezjańskimi ==
:<math>\phi\,</math> — kąt między osią <math>x</math> układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący <math>r(t)</math>i kierunek <math>\hat{n}_z</math><ref name=":2" />,
: <math>x=\rho\cos\phi\,</math>
:<math>z\,</math> — wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego)<ref name=":2" />.
: <math>y=\rho\sin\phi\,</math>
 
: <math>z=z\,</math>
Można wyprowadzić wzór: <math>r(t) = \rho= \sqrthat{x^2n}_\rho +y^2 z \hat{n}_z</math><ref name=":2" />.
 
: <math>\varphi =
Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej <math>r</math>: <math>v(t) = {dr \over dt} = \dot \rho \hat{n}_\rho + \rho \dot{\hat{n}}_\rho + \dot{z} \dot{\hat{n}}_z</math><ref name=":2" /> (gdzie <math>\dot{}</math>oznacza pierwszą [[Pochodna funkcji|pochodną]] względem czasu<ref name=":1" />). Wersor <math>{\hat{{n}}_z}</math>nie zmienia swojej orientacji i dlatego <math>\dot{\hat{{n}}_z} = 0</math>, co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu<ref name=":2" />. Wersor <math>\dot{\hat{n}}_\rho</math>należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory <math>\hat{n}_x</math>i <math>\hat{n}_y</math> układu nieruchomego<ref name=":2" />.
\begin{cases}
 
0 & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ ∧ } y = 0\\
<math>\hat{n}_\rho = \hat{n}_x \cos \phi + \hat{n}_y \sin \phi </math><ref name=":2" />
\arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{gdy } x \geq 0 \\
 
-\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{gdy } x < 0\\
<math>\hat{n}_\phi = -\hat{n}_x \sin \phi + \hat{n}_y \cos \phi </math><ref name=":2" />.
\end{cases}
 
</math>
Zatem:
Zależność wektorów w układzie współrzędnych kartezjańskim i walcowym.
 
: Skoro <math>\bar{r}_{K} = [x, y, z]</math>, to <math>\bar{r}_{W} = [\sqrt{x^2 + y^2}, \arccos\frac{x}{\rho}, z]</math>.
: Skoro <math>\bardot{\hat{rn}_{W\rho} = [-\rho,hat{n}_x \phi,sin z]</math>, to <math>\barphi\dot{r}_{K\phi} =+ [\rhohat{n}_y \cos \phi, \rhodot{\phi}=\dot{\phi} \sinhat{n}_\phi, z]</math>.<ref name=":2" />,
 
<math>\dot{\hat{n}_\phi} = -\hat{n}_x \cos \phi \dot{\phi} - \hat{n}_y \sin \phi \dot{\phi} = - \dot{\phi} \hat{n}_\rho </math><ref name=":2" />.
 
Stąd prędkość:
 
<math>v(t) = \dot{\rho}\hat{n}_\rho + \rho \dot{\phi}\hat{n}_\phi + \dot{z}\hat{n}_z </math><ref name=":2" />,
 
a jej długość:
 
<math>\left\vert v \right\vert = \sqrt{(\dot{\phi})^2 + (\rho \dot{\phi})^2 + (\dot{z})^2} </math><ref name=":2" />.
 
Przyspieszenie:
 
<math>a(t) = {dv \over dt} = \ddot{\rho}\hat{n}_\rho + \dot{\rho}\dot{\phi}\hat{n}_\phi + \rho \ddot{\phi}
\hat{n}_\phi + \rho \dot{\phi}\dot{\hat{n}}_\phi+\ddot{z}\hat{n}_z = \hat{n}_\rho (\ddot{\rho}-\rho (\dot{\phi})^2)+ \hat{n}_\phi (2\dot{\rho}\dot{\phi}+\rho \ddot{\phi}) +
\hat{n}_z \ddot{z} </math> <ref name=":2" />
 
<math>\left\vert a \right\vert = \sqrt{(\ddot{\rho} - \rho (\dot{\phi})^2)^2 + (2 \dot{\rho} \dot{\phi} + \rho
\ddot{\phi})^2 + (\ddot{z})^2} </math><ref name=":0" />.
 
== Przykład zastosowania ==
Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład '''jednostajny ruch po okręgu<ref name=":0" />''':
 
<math>\rho = R = const </math><ref name=":0" />,
 
<math>\phi = \omega t, \omega = const </math><ref name=":0" />,
 
<math>z = 0 </math><ref name=":0" />
 
oraz:
 
<math>r(t) = R \hat{n}_\rho </math><ref name=":0" />,
 
<math>v(t) = \omega R \hat{n}_\phi </math><ref name=":0" />,
 
<math>a(t) = -\omega^2 R \hat{n}_\rho </math><ref name=":0" />.
 
== Zobacz też ==
 
* [[układ współrzędnych sferycznych]]
 
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Układy współrzędnych|Walcowy]]