Wersja z 01:38, 12 lut 2019 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje Dodano bibliografię z podaniem stron dotyczących zagadnień w artykule. Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 02:05, 12 lut 2019 edytuj anuluj edycję Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje Redakcja treści - korekta. Znacznik: VisualEditor następna edycja →
Linia 22: W [[przestrzeń euklidesowa\|przestrzeni euklidesowej]] 3-wymiarowej mamy grupę obrotów SO(3), która jest podgrupą grupy O(3). Grupa obrotów SO(3) jest '''grupą ciągłą.,''' tzn.. Element <math>R</math> grupy SO(3) można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor <math>\alpha,</math> oś obrotu <math>\omega</math> i kąt obrotu ψ (przy czym <math>\alpha^i=\omega^i \psi,</math> <math>\omega^1=\sin(\theta) \sin(\phi),</math> <math>\omega^2=\sin(\theta) \cos(\phi),</math> <math>\omega^3=\cos(\theta)</math>), tj. : <math>R=exp\,[\,{i\sum_{a=1}^3 T^a \,\alpha^a}\,],</math> Linia 31: : <math>[ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c,</math> gdzie ε<math>\epsilon_{a b c}</math> oznacza tzw. '''symbol''' '''antysymetryczny''': <math>\epsilon_{a εb c}= +1,</math> gdy liczby ''~~a b c~~abc'' ~~jest~~są parzystą [[permutacja\|permutacją]] liczb ~~1 2 3~~123, <math>\epsilon_{a εb c}= -1</math>, gdy liczby ''~~a b c~~abc'' ~~jest~~są nieparzystą permutacją liczb ~~1 2 3~~123, <math>\epsilon_{a εb c}= \,\,0</math>, gdy ~~dwa~~dwie lub trzy ~~wskaźniki~~liczby ''a, b, c'' są takie same. Z powyższego wzoru mamy: :<math>[ T^1, T^2 ] =i \,T^3,</math> :<math>[ T^2, T^3 ] =i \,T^1,</math> :<math>[ T^3, T^1 ] =i \,T^2.</math> : == Algebra Liego grupy SO(n) == Generatory grupy SO(n) rozpinają [[Algebra Liego\|algebrę Liego]] so(n) z nawiasem Liego zadanym przez [[Komutator (matematyka)\|komutator]] :<math>[A~~\times~~ ,B] =[A B - B A]</math> ~~(komutator)~~. == Grupy obrotu a operatory mechaniki kwantowej == ('''1''') Bardzo podobne reguły komutacyjne jak generatory grupy obrotu SO(3) spełnia [[Moment pędu#W mechanice kwantowej\|operator momentu pędu]] ~~<math>\hat{L}=\hat{r}\times \hat{p}=-i\hbar r\times \nabla</math>~~ [[mechanika kwantowa\|mechaniki kwantowej]] (z dokładnością do [[stała Plancka\|stałej Plancka]] <math>\hbar</math>). Operator ten jest [[reprezentacja grupy\|reprezentacją]] algebry so(3) w przestrzeni [[funkcja całkowalna\|funkcji całkowalnych]] z kwadratem <math>L^2.</math> Z własności tej algebry (i własności grupy SO(3)) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych [[moment pędu\|momentu pędu]] (odpowiada temu [[zasada nieoznaczoności]] w wersji dotyczącej pomiaru momentu pędu układu kwantowego). * Identyczne reguły komutacyjne spełnia też [[Spin (fizyka)\|operator spinu]]. Dlatego także nie jest możliwy jednoczesny pomiaru wszystkich składowych spinu.▼ :<math>\hat{L}=[L_x,L_y,L_z]</math> tj. :<math>[ L_x, L_y ] =i\hbar \,L_z\ne 0,</math>itd Macierze odpowiadające składowym tego operatora tworzą [[reprezentacja grupy\|reprezentację]] algebry so(3) w przestrzeni [[funkcja całkowalna\|funkcji całkowalnych]] z kwadratem <math>L^2.</math> Pomiary pokazały, że nie da się jednocześnie zmierzyć wszystkich 3 składowych [[moment pędu\|momentu pędu]] ([[zasada nieoznaczoności]] pomiaru momentu pędu układu kwantowego) - faktowi temu odpowiada w opisie mechaniki kwantowej fakt teoretyczny: komutator dwóch dowolnych składowych tego operatora jest niezerowy. ▲*('''2''') Identyczne reguły komutacyjne spełnia też [[Spin (fizyka)\|operator spinu]]. Dlatego także nie jest możliwy jednoczesny pomiaru wszystkich składowych spinu. == Zobacz też ==

Grupa obrotów: Różnice pomiędzy wersjami