Pochodna cząstkowa: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
|||
Linia 2:
Pochodne cząstkowe funkcji <math>f</math> względem zmiennej <math>x</math> oznacza się symbolami
: <math>\frac{\partial f}{\partial x},\; f
Symbol pochodnej cząstkowej ''[[∂]]''<ref group="uwaga">Kod [[HTML]]: <code>&#8706;</code> lub <code>&part;</code>, [[
Tradycyjnie mówi się, że notacja <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math> pochodzi od [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Wilhelma Leibniza]], zaś <math>f
== Wprowadzenie ==
[[Plik:Grafico 3d x2+xy+y2.png|thumb|Wykres funkcji <math>z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2</math>]]
[[Plik:X2+x+1.png|thumb|Wartość z w zależności od x, dla y=1
Niech <math>f</math> będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo
: <math>z = f(x, y) = x^2 + xy + y^2.</math>
Linia 21:
W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie <math>(1, 1, 3)</math> wynosi <math>3.</math> Dlatego
: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>
w punkcie <math>(1, 1, 3).</math> Innymi słowy pochodna cząstkowa <math>z</math> względem <math>x</math> w punkcie <math>(1, 1, 3)</math> jest równa <math>3.</math>
Linia 28 ⟶ 29:
Jeżeli istnieje skończona [[granica funkcji|granica]]
: <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n)}{h},</math>
to nazywa się ją '''pochodną cząstkową''' funkcji <math>f</math> w punkcie <math>\mathrm a</math> względem zmiennej <math>a_k</math> i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.
== Związek ze „zwykłą” pochodną ==
Jeżeli oznaczyć <math>g(a_k) = f(a_1, \dots, a_k, \dots, a_n),</math> to
: <math>f
jest po prostu pochodną <math>g
Na przykład dla funkcji
: <math>f(x,y) = x^3 + 3xy - y^2
można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych ''x'' i ''y'':
: <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f
: <math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f
== Pochodne wyższych rzędów ==
Linia 56 ⟶ 60:
Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy '''rzędem''' pochodnej cząstkowej. Na przykład
: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x{}\partial y}{(x,y)}</math>
jest pochodną rzędu <math>2.</math>
== Zobacz też ==
* [[dywergencja]], [[rotacja]]▼
* [[gradient (matematyka)|gradient]]
* [[macierz Jacobiego]]
Linia 64 ⟶ 69:
* [[operator d’Alemberta]]
* [[pochodna kierunkowa]]
▲* [[dywergencja]], [[rotacja]]
* [[Forma różniczkowa|pochodna zewnętrzna]]
* [[pochodna zupełna]]
Linia 75 ⟶ 79:
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Pogorzelski |imię = Witold |
[[Kategoria:Pochodne|cząstkowa]]
|