Aproksymacja liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora: odmiana nazwiska |
|||
Linia 1:
{{Dopracować|źródła=2011-09
[[Plik:TangentGraphic2.svg|thumb|300px|Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt <math>(
'''Aproksymacja liniowa''' [[Funkcja|funkcji]] – przybliżenie jej za pomocą [[funkcja liniowa|funkcji liniowej]].
Linia 9 ⟶ 8:
== Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora ==
Dla danej [[Pochodna funkcji|funkcji różniczkowalnej]] <math>f</math> jednej [[zmienna (matematyka)|zmiennej]], na mocy [[wzór Taylora|wzoru Taylora]] dla <math>n=1</math> można napisać:
▲: <math> f(x) = f(a) + f^\prime(a)(x - a) + R_2(x) </math>,
gdzie <math>R_2</math> jest tzw. [[wzór Taylora|resztą Peana]], spełniającą warunek:
: <math>\lim_{x\to a}\frac{R_2(x)}{x-a}= 0.</math>▼
▲: <math>\lim_{x\to a}\frac{R_2(x)}{x-a}= 0</math>
Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:
i przybliżenie to jest tym lepsze, im <math>x</math> jest bliższe <math>a.</math>
Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje [[macierz Jacobiego]] funkcji. Na przykład
▲i przybliżenie to jest tym lepsze, im <math>x</math> jest bliższe <math>a</math>. Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji <math>f(x),</math> w punkcie o współrzędnych <math>(a,f(a))\,</math>.
: <math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>
Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji <math>z=f(x, y)</math> w punkcie o współrzędnych <math>(a, b, f(a,b)).
▲Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje [[macierz Jacobiego]] funkcji. Na przykład, jeżeli <math>f(x, y)</math> jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:
▲: <math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right)</math>.
▲Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji <math>z=f(x, y)</math> w punkcie o współrzędnych <math>(a, b, f(a,b)).\,</math>
Uogólnienie powyższego na przypadek [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] wygląda następująco:
gdzie <math>Df(a)</math> jest [[Pochodna Frécheta|pochodną Frecheta]] funkcji <math>f</math> dla <math>x=a.</math>
▲: <math> f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)</math>,
▲gdzie <math>Df(a)</math> jest [[Pochodna Frécheta|pochodną Frecheta]] funkcji <math>f</math> dla <math>x=a</math>.
=== Przykład ===
Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości <math>\sqrt[3]{25}.</math>
# Rozważana jest funkcja <math>
# Jest
#: <math>
# Korzystając z aproksymacji liniowej:
#: <math>
# Otrzymany wynik 2,926, ''niewiele'' różni się od wartości dokładnej 2,924…
| |||