Zbiór otwarto-domknięty: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Paweł Ziemian BOT (dyskusja | edycje)
m Poprawiam szablon cytowania
Linia 3:
 
== Przykłady ==
* W każdej przestrzeni topologicznej <math>X,</math> [[zbiór pusty]] oraz cała przestrzeń <math>X</math> są zbiorami otwarto-domkniętymi.
* Niech przestrzeń ''<math>X'' = [0,1] \cup [2,3]</math> będzie wyposażona w topologię [[podprzestrzeńTopologia (topologia)podprzestrzeni|podprzestrzeni]] dziedziczoną z prostej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]]. Wówczas, przestrzeń ''<math>X''</math> ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: [[zbiór pusty]], ''<math>X'', [0,1], [2,3].</math>
* Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru <math>{\mathbb Q}</math> liczb [[liczby wymierne|wymiernych]] z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór <math>A=\{r\in{ \mathbb Q}:r^2<2\}</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem <math>{\mathbb Q}.</math>. Ogólniej, jeśli <math>I</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]] liczb rzeczywistych o różnych końcach [[liczby niewymierne|niewymiernych]], to <math>I\cap {\mathbb Q}</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem <math>{\mathbb Q}</math> (mimo, iż zbiór ten '''nie''' jest ani otwarty ani domknięty na prostej <math>\mathbb R</math>).
* Jeśli <math>J \subseteq{ \mathbb R}</math> jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to <math>J\setminus {\mathbb Q}</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych <math>{\mathbb R} \setminus {\mathbb Q}</math> (ale ten zbiór '''nie''' jest ani otwarty ani domknięty w <math>{\mathbb R}</math>).
 
== Własności ==
* Przestrzeń topologiczna <math>X</math> jest [[zbiórPrzestrzeń spójnyspójna|spójna]] wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w <math>X</math> są zbiór pusty oraz cała przestrzeń <math>X.</math>
* Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego [[brzegBrzeg (topologiamatematyka)|brzeg]] jest zbiorem pustym.
* Przestrzeń topologiczna jest [[przestrzeń topologicznaPrzestrzeń dyskretna|dyskretna]] wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
* Rodzina <math>\mathrm{Clop}(''X'')</math> wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni <math>X</math> tworzy [[Ciało zbiorów|ciało podzbiorów]] tej przestrzeni. W szczególności, struktura <math>(\mathrm{\rm Clop}(X),\cup,\cap,{}^\prime',\varnothing,X)</math> jest [[algebra Boole’a|algebrą Boole’a]].
* [[Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a]] mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.
 
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę|nazwisko=Błaszczyk|imię=Aleksander|autor link=Aleksander Błaszczyk|imię2=Sławomir|nazwisko2=Turek|tytuł=Teoria mnogości|wydawca=PWN|miejsce=Warszawa|rok=2007|strony=234|isbn= 978-83-01-15232-1}}
 
== Zobacz też ==
* [[przestrzeń całkowicie niespójna]]
* [[przestrzeń ekstremalnie niespójna]]
* [[Przestrzeń zerowymiarowa|przestrzeń zero-wymiarowa]]
 
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Błaszczyk |imię=Aleksander |autor link=Aleksander Błaszczyk|imię2=Sławomir |nazwisko2=Turek |imię2=Sławomir |tytuł=Teoria mnogości |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |rok=2007 |strony=234 |isbn= 978-83-01-15232-1}}
 
[[Kategoria:Topologia]]